Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve entender um pouco sobre séries numéricas e os testes de convergência que usamos para classificá-las. Vamos precisar verificar se a série alterna sinais e aplicar alguns testes específicos para ver como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a série tem o termo , o que indica que ela é alternada: os termos mudam de sinal conforme aumenta. Isso nos sugere que podemos usar o Teste da Série Alternada para investigar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que, para uma série da forma , ela converge se:
  1. para todo ,
  2. é decrescente, ou seja, , e
  3. .
Vamos identificar na nossa série:

Passo 4

Vamos verificar as condições:
  1. para todo , então a primeira condição está ok.
  2. Para ver se é decrescente, observamos que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então diminui. Portanto, a segunda condição também está satisfeita.
  3. Agora, calculamos o limite:
Aqui, o limite não é zero, o que significa que a terceira condição não é atendida.

Passo 5

Como o limite de não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Mas vamos confirmar se ela diverge de fato.

Passo 6

Para confirmar a divergência, observamos que se , então a série diverge. No nosso caso:
Esse limite não existe porque oscila entre e , mas de qualquer forma, não é zero. Portanto, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Em cada item marque com um a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(b) Se a série é condicionalmente convergente, então converge.
Considere a função , com em .
(b) Obtenha a derivada de em .
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(j)