Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
© sumk=1^infty (-1)^k raizk1+2 raizk

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve entender um pouco sobre séries numéricas e os testes de convergência que usamos para classificá-las. Vamos precisar verificar se a série alterna sinais e aplicar alguns testes específicos para ver como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a série tem o termo , o que indica que ela é alternada: os termos mudam de sinal conforme aumenta. Isso nos sugere que podemos usar o Teste da Série Alternada para investigar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que, para uma série da forma bk = raizk1 + 2 raizk , ela converge se:
  1. para todo ,
  2. é decrescente, ou seja, , e
  3. .
Vamos identificar na nossa série:

Passo 4

Vamos verificar as condições:
  1. limk to infty raizk1 + 2 raizk = limk to infty raizk2 raizk = 12 para todo , então a primeira condição está ok.
  2. Para ver se é decrescente, observamos que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então diminui. Portanto, a segunda condição também está satisfeita.
  3. Agora, calculamos o limite:
Aqui, o limite não é zero, o que significa que a terceira condição não é atendida.

Passo 5

Como o limite de não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Mas vamos confirmar se ela diverge de fato.

Passo 6

Para confirmar a divergência, observamos que se limk to infty (-1)^k raizk1 + 2 raizk = (-1)^k cdot 12 , então a série diverge. No nosso caso:
Esse limite não existe porque oscila entre e , mas de qualquer forma, não é zero. Portanto, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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