Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve entender um pouco sobre séries numéricas e os testes de convergência que usamos para classificá-las. Vamos precisar verificar se a série alterna sinais e aplicar alguns testes específicos para ver como ela se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a série tem o termo
, o que indica que ela é alternada: os termos mudam de sinal conforme
aumenta. Isso nos sugere que podemos usar o Teste da Série Alternada para investigar a convergência.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que, para uma série da forma
, ela converge se:
-
para todo , -
é decrescente, ou seja, , e -
.
Vamos identificar
na nossa série:
Passo 4
Vamos verificar as condições:
-
para todo , então a primeira condição está ok. - Para ver se
é decrescente, observamos que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então diminui. Portanto, a segunda condição também está satisfeita. - Agora, calculamos o limite:
Aqui, o limite não é zero, o que significa que a terceira condição não é atendida.
Passo 5
Como o limite de
não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Mas vamos confirmar se ela diverge de fato.
Passo 6
Para confirmar a divergência, observamos que se
, então a série
diverge. No nosso caso:
Esse limite não existe porque oscila entre
e
, mas de qualquer forma, não é zero. Portanto, a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Em cada item marque com um
a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(b) Se a série é condicionalmente convergente, então
converge.
(b) Se a série
Considere a função
, com
em
.
(b) Obtenha a derivada de
em
.
(b) Obtenha a derivada
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f)
(f)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(j)
(j)