Considere a função , com em .
(b) Obtenha a derivada de em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada 63ª da função no ponto . Estamos lidando com séries de potências e derivadas de alta ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar termos de uma série e identificar qual termo da série vai contribuir para a derivada que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que é dada por uma série infinita:
Cada termo da série tem a forma . Nossa missão é encontrar a 63ª derivada dessa função no ponto .

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma potência na ordem avaliada em é:
Isso significa que, para termos com expoente menor que 63, a derivada será zero. Só o termo onde vai contribuir.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de que satisfaz :
Então, apenas quando temos um termo que contribui para a derivada 63ª.

Passo 5

Agora, vamos identificar o coeficiente desse termo específico. Para :
O sinal negativo vem do .

Passo 6

Aplicando a fórmula da derivada de ordem , temos:

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a função , com em .
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida de .
Considere a função .
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de , bem como o raio de convergência dessa série.
Em cada item marque com um a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(b) Se a série é condicionalmente convergente, então converge.
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
©