Considere a função f(x)=sumk=0^infty (-1)^k4^2 k(2 k+1)(x-2)^4 k+3, com x em (0,4).
(b) Obtenha a derivada f^(63)(2) de f(x) em x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada 63ª da função no ponto . Estamos lidando com séries de potências e derivadas de alta ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar termos de uma série e identificar qual termo da série vai contribuir para a derivada que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função f(x) = sumk=0^infty (-1)^k4^2k(2k+1)(x-2)^4k+3 que é dada por uma série infinita:
Cada termo da série tem a forma . Nossa missão é encontrar a 63ª derivada dessa função no ponto .

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma potência f^(n)(a) = n! cdot coeficiente de (x - a)^n na ordem avaliada em é:
Isso significa que, para termos com expoente menor que 63, a derivada será zero. Só o termo onde vai contribuir.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de 4k + 3 = 63 4k = 60 k = 15 que satisfaz :
Então, apenas quando temos um termo que contribui para a derivada 63ª.

Passo 5

Agora, vamos identificar o coeficiente desse termo específico. Para (-1)^154^2 cdot 15 (2 cdot 15 + 1) = (-1)^154^30 cdot 31 = -14^30 cdot 31 :
O sinal negativo vem do .

Passo 6

Aplicando a fórmula da derivada de ordem f^(63)(2) = 63! cdot -14^30 cdot 31 , temos:

Resposta

f^(63)(2) = -63!4^30 cdot 31

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