Considere a função
, com
em
.
(b) Obtenha a derivada
de
em
.
(b) Obtenha a derivada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada 63ª da função
no ponto
. Estamos lidando com séries de potências e derivadas de alta ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar termos de uma série e identificar qual termo da série vai contribuir para a derivada que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função
que é dada por uma série infinita:
Cada termo da série tem a forma
. Nossa missão é encontrar a 63ª derivada dessa função no ponto
.
Passo 3
Sabemos que a derivada de uma potência
na ordem
avaliada em
é:
Isso significa que, para termos com expoente menor que 63, a derivada será zero. Só o termo onde
vai contribuir.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
que satisfaz
:
Então, apenas quando
temos um termo que contribui para a derivada 63ª.
Passo 5
Agora, vamos identificar o coeficiente desse termo específico. Para
:
O sinal negativo vem do
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da derivada de ordem
, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
, com
em
.
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida de
.
© Obtenha a série de Taylor da integral indefinida
Considere a função
.
(a) Obtenha a série de Taylor de em torno de
, bem como o raio de convergência dessa série.
(a) Obtenha a série de Taylor de
Em cada item marque com um
a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(b) Se a série é condicionalmente convergente, então
converge.
(b) Se a série
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
©
©