Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Isso envolve conhecimentos de séries de potências, razão de convergência e Teste da Razão. Vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio e depois verificar o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que para uma série de potências geral:
A razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Como vamos usar o valor absoluto, o sinal negativo some:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que . Aqui, , então a série converge quando:
Passo 6
Vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando tudo por 3:
Somando 2 em todas as partes:
Então, o intervalo preliminar de convergência é .
Passo 7
O raio de convergência é metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de -1 a 5, o comprimento é 6. Portanto:
Passo 8
Agora, precisamos verificar se a série converge nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
A série fica:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para :
A série fica:
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Passo 9
Então, juntando tudo:
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: — converge para , e também em .
Resposta
O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é .