Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Isso envolve conhecimentos de séries de potências, razão de convergência e Teste da Razão. Vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio e depois verificar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que para uma série de potências geral:
A razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Como vamos usar o valor absoluto, o sinal negativo some:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que . Aqui, , então a série converge quando:

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando tudo por 3:
Somando 2 em todas as partes:
Então, o intervalo preliminar de convergência é .

Passo 7

O raio de convergência é metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de -1 a 5, o comprimento é 6. Portanto:

Passo 8

Agora, precisamos verificar se a série converge nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
A série fica:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para :
A série fica:
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Passo 9

Então, juntando tudo:
  • Raio de convergência:
  • Intervalo de convergência:  — converge para , e também em .

Resposta

O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k)
Lembre que .
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.
Lembre que sen , qualquer que seja .
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é .