Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências sum (-1)^kk 3^k(x-2)^k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumk=1^infty (-1)^kk cdot 3^k(x-2)^k
Isso envolve conhecimentos de séries de potências, razão de convergência e Teste da Razão. Vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio e depois verificar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que para uma série de potências geral:
sum ak (x - c)^k
A razão L = limk to infty | ak+1ak | é:
Se , a série converge; se , a série diverge.

Passo 3

Vamos identificar ak = (-1)^kk cdot 3^k na nossa série:
ak+1ak = (-1)^k+1(k+1) cdot 3^k+1 (-1)^kk cdot 3^k = (-1)^k+1 cdot k cdot 3^k(-1)^k cdot (k+1) cdot 3^k+1 = -k3(k+1)
Agora, vamos calcular | ak+1ak | = k3(k+1) :
Como vamos usar o valor absoluto, o sinal negativo some:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty k3(k+1) = limk to infty 13 cdot kk+1 tende ao infinito:
L = 13 cdot 1 = 13
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que | x - 23 | < 1 . Aqui, , então a série converge quando:

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade:
| x - 23 | < 1 implies -1 < x - 23 < 1
Multiplicando tudo por 3:
-3 < x - 2 < 3
Somando 2 em todas as partes:
-1 < x < 5
Então, o intervalo preliminar de convergência é .

Passo 7

O raio de convergência R = 62 = 3 é metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de -1 a 5, o comprimento é 6. Portanto:

Passo 8

Agora, precisamos verificar se a série converge nos extremos do intervalo, ou seja, em (x - 2) = -1 - 2 = -3 e sumk=1^infty (-1)^kk cdot 3^k (-3)^k = sumk=1^infty (-1)^k cdot (-3)^kk cdot 3^k = sumk=1^infty (3)^kk cdot 3^k = sumk=1^infty 1k .
Para (x - 2) = 5 - 2 = 3 :
sumk=1^infty (-1)^kk cdot 3^k (3)^k = sumk=1^infty (-1)^k cdot 3^kk cdot 3^k = sumk=1^infty (-1)^kk
A série fica:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para :
A série fica:
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Passo 9

Então, juntando tudo:
  • Raio de convergência:
  • Intervalo de convergência:  — converge para , e também em .

Resposta

O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é .

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