Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas séries de potências centradas em
, com raios de convergência
e
respectivamente. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries de potências e intervalos de convergência. Precisamos determinar os maiores intervalos abertos onde cada uma dessas séries converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência
de uma série de potências como
nos diz que a série converge para todos os valores de
que satisfazem
. Aqui,
é o centro das séries.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso para cada série:
-
Primeira série (
): Isso significa que:Somando 3 em todas as partes da desigualdade:Então, o intervalo de convergência é. -
Segunda série (
): Isso resulta em:Adicionando 3:Portanto, o intervalo de convergência é.
Resposta
A maior intervalo aberto de convergência para a primeira série é
e para a segunda série é
.
Exercícios relacionados
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k)
(k)
Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
centrado em
.
Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências
.
Lembre que
.
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.