Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas séries de potências centradas em , com raios de convergência e respectivamente. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries de potências e intervalos de convergência. Precisamos determinar os maiores intervalos abertos onde cada uma dessas séries converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência de uma série de potências como nos diz que a série converge para todos os valores de que satisfazem . Aqui, é o centro das séries.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para cada série:
  1. Primeira série ( ):
    Isso significa que:
    Somando 3 em todas as partes da desigualdade:
    Então, o intervalo de convergência é .
  2. Segunda série ( ):
    Isso resulta em:
    Adicionando 3:
    Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A maior intervalo aberto de convergência para a primeira série é e para a segunda série é .

Exercícios relacionados

Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k)
Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função centrado em .
Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências .
Lembre que .
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.