Suponha que as séries de potências sum bk(x-3)^k e sum ck(x-3)^k têm raios de convergência R=4 e R=6, respectivamente.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas séries de potências centradas em , com raios de convergência e respectivamente. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries de potências e intervalos de convergência. Precisamos determinar os maiores intervalos abertos onde cada uma dessas séries converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência de uma série de potências como nos diz que a série converge para todos os valores de que satisfazem . Aqui, é o centro das séries.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para cada série:
  1. Primeira série ( |x - 3| < 4 ):
    -4 < x - 3 < 4
    Isso significa que:
    -1 < x < 7
    Somando 3 em todas as partes da desigualdade:
    |x - 3| < 6
    Então, o intervalo de convergência é -6 < x - 3 < 6 .
  2. Segunda série ( -3 < x < 9 ):
    Isso resulta em:
    Adicionando 3:
    Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A maior intervalo aberto de convergência para a primeira série é e para a segunda série é .

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