Classifique cada sistema abaixo em inconsistente, consistente com uma única solução ou consistente com múltiplas soluções, baseando-se nos conceitos de posto e nulidade. Se for consistente, resolva o sistema.
cx1+3 x2+2 x3+3 x4-7 x5=14 2 x1+6 x2+x3-2 x4+2 x5=-2 x1+3 x2-x3=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com cinco variáveis. O que a gente precisa fazer é ver se esse sistema tem solução, uma única solução ou várias soluções. Para isso, vamos usar os conceitos de posto e nulidade das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 2 & 6 & 1 & -2 & 2 & | & -2 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & | & -1

Passo 3

Agora, vamos reduzir essa matriz para uma forma mais simples, usando eliminação de Gauss. O objetivo é deixar a matriz em forma escalonada, onde cada linha tem mais zeros à esquerda que a anterior.
  1. Primeira linha já começa com 1, então vamos usá-la para zerar os elementos abaixo:
    • Linha 2: 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 16 & | & -30 0 & 0 & -3 & -3 & 7 & | & -15
    • Linha 3: 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & 1 & 83 & -163 & | & 10 0 & 0 & -3 & -3 & 7 & | & -15
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & 1 & 83 & -163 & | & 10 0 & 0 & 0 & 5 & -9 & | & 15
  1. Segunda linha pode ser simplificada dividindo por -3:
  1. Terceira linha: Vamos eliminar o coeficiente de :

Passo 4

Agora que a matriz está em forma escalonada, vamos determinar o posto dela. O posto é o número de linhas não nulas na matriz escalonada. Aqui, temos 3 linhas não nulas, então o posto da matriz aumentada é 3.

Passo 5

Vamos comparar o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada:
  • Matriz dos coeficientes:
1 & 3 & 2 & 3 & -7 2 & 6 & 1 & -2 & 2 1 & 3 & -1 & 0 & 0
Após as mesmas operações de redução, ela também terá posto 3.
Como o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada, o sistema é consistente.

Passo 6

Agora, vamos verificar quantas soluções o sistema tem. A regra geral é:
  • Número de variáveis 5 - 3 = 2 posto = grau de liberdade.
Aqui, temos 5 variáveis e o posto é 3:
Isso significa que temos duas variáveis livres, ou seja, infinitas soluções.

Passo 7

Vamos expressar as soluções em termos das variáveis livres. Escolhemos 5x4 - 9x5 = 15 implies x4 = 15 + 9x55 = 3 + 95x5 e x3 + 83x4 - 163x5 = 10 como livres.
A partir da terceira linha da matriz reduzida:
x3 + 83 (3 + 95x5) - 163x5 = 10 x3 + 8 + 245x5 - 163x5 = 10 x3 = 2 - (245 - 163)x5 x3 = 2 - (72 - 8015)x5 x3 = 2 + 815x5
Da segunda linha:
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 -7x5 = 14
Substituindo x1 + 3x2 + 2(2 + 815x5) + 3(3 + 95x5) -7x5 = 14 x1 + 3x2 + 4 + 1615x5 + 9 + 275x5 -7x5 = 14 x1 + 3x2 + 13 + (1615 + 8115 - 10515)x5 = 14 x1 + 3x2 + 13 - 815x5 = 14 x1 + 3x2 - 815x5 = 1 x1 = 1 - 3x2 + 815x5 :
Da primeira linha:
Substituindo e :

Resposta

O sistema é consistente com múltiplas soluções. As soluções gerais são:
x1 = 1 - 3x2 + dfrac815x5 x3 = 2 + dfrac815x5 x4 = 3 + dfrac95x5 x2 e x5 são livres ã
Onde e podem assumir quaisquer valores reais.

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