Sejam o ponto
e a reta
definida pela seguinte equação vetorial:
para
. Determine um ponto
, se possível, de modo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um ponto
e uma reta
definida pela equação vetorial
, onde
é um número real. A missão aqui é encontrar um ponto
que está na reta
e cuja distância até o ponto
seja exatamente 3 unidades. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar um ponto
na reta
. A equação da reta nos diz que qualquer ponto
nela pode ser escrito como
, onde
é um parâmetro que varia pelos números reais. Então,
nos ajuda a “andar” pela reta e encontrar diferentes pontos
.
Passo 3
Agora, queremos que a distância entre
e
seja 3. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 4
Vamos simplificar as expressões dentro da raiz:
Isso fica:
Passo 5
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação e resolver para
:
Para simplificar, podemos dividir toda a equação por 4:
Passo 8
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Primeiro, calculamos o discriminante:
Passo 9
Como
é positivo, temos duas soluções reais para
:
Então:
Passo 10
Agora, vamos encontrar os pontos
correspondentes a cada valor de
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos
na reta
com distância 3 até
são
e
.