Sejam o ponto P(2,-1,5) e a reta r definida pela seguinte equação vetorial: r:(x, y, z)=(2,-1,4)+h(2,-4,6) para h in R. Determine um ponto Q in r, se possível, de modo que d(P, Q)=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um ponto e uma reta definida pela equação vetorial , onde é um número real. A missão aqui é encontrar um ponto que está na reta e cuja distância até o ponto seja exatamente 3 unidades. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar um ponto na reta . A equação da reta nos diz que qualquer ponto nela pode ser escrito como , onde é um parâmetro que varia pelos números reais. Então, nos ajuda a “andar” pela reta e encontrar diferentes pontos .

Passo 3

Agora, queremos que a distância entre d(P, Q) = raiz(xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2 + (zQ - zP)^2 e 3 = raiz(2 + 2h - 2)^2 + (-1 - 4h + 1)^2 + (4 + 6h - 5)^2 seja 3. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Substituindo os valores de e :

Passo 4

Vamos simplificar as expressões dentro da raiz:
3 = raiz(2h)^2 + (-4h)^2 + (6h - 1)^2
Isso fica:
3 = raiz4h^2 + 16h^2 + (36h^2 - 12h + 1)

Passo 5

Somando os termos semelhantes:
3 = raiz4h^2 + 16h^2 + 36h^2 - 12h + 1 = raiz56h^2 - 12h + 1

Passo 6

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
9 = 56h^2 - 12h + 1

Passo 7

Vamos reorganizar a equação e resolver para 56h^2 - 12h + 1 - 9 = 0 56h^2 - 12h - 8 = 0 :
14h^2 - 3h - 2 = 0
Para simplificar, podemos dividir toda a equação por 4:

Passo 8

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
h = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, , e .
Primeiro, calculamos o discriminante:

Passo 9

Como h = 3 pm raiz12128 = 3 pm 1128 é positivo, temos duas soluções reais para h1 = 1428 = 12 h2 = -828 = -27 :
Então:

Passo 10

Agora, vamos encontrar os pontos Q1 = (2 + 2 times 12, -1 - 4 times 12, 4 + 6 times 12) = (3, -3, 7) correspondentes a cada valor de Q2 = (2 + 2 times (-27), -1 - 4 times (-27), 4 + 6 times (-27)) = (107, -57, 227) :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na reta com distância 3 até são e .

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