Sob condições controladas, pode-se misturar tolueno C7 H8 e ácido nítrico HNO3 para se produzir trinitrotolueno C7 H5 O6 N3 e também água como sub-produto (trinitrotolueno é conhecido como TNT). O número de átomos presente em cada elemento antes da reação
x C7 H8+y H N O3 z C7 H5 O6 N3+w H2 O
deve ser o mesmo presente depois da reação. Aplicando esse princípio aos elementos C, H, N e O obtemos o seguinte sistema linear:
l 7 x=7 z 8 x+y=5 z+2 w 1 y=3 z 3 y=6 z+w
Mostre que esse sistema é consistente e encontre suas soluções. Faz sentido do ponto de vista químico o sistema ter múltiplas soluções?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma reação química controlada onde misturamos tolueno ( C7H8) com ácido nítrico ( HNO3) para produzir trinitrotolueno (TNT) ( C7H5O6N3) e água ( H2O). A ideia central aqui é que, na reação química, o número de átomos de cada elemento deve ser o mesmo antes e depois da reação. Isso é chamado de Lei da Conservação da Massa.
Para resolver esse problema, precisamos montar e resolver um sistema de equações que representa a conservação de cada elemento envolvido na reação: Carbono ( C), Hidrogênio ( H), Nitrogênio ( N) e Oxigênio ( O).

Passo 2

Vamos anotar a equação química com os coeficientes desconhecidos:
x, C7H8 + y, HNO3 z, C7H5O6N3 + w, H2O
Aqui, x, y, z e w são os coeficientes que precisamos determinar para balancear a reação.

Passo 3

Agora, vamos criar as equações baseadas na conservação de cada elemento:
  1. Carbono ( C): Cada molécula de tolueno tem 7 átomos de carbono e cada molécula de TNT também tem 7. Então:
    7x = 7z
  2. Hidrogênio ( H): Tolueno tem 8 hidrogênios, ácido nítrico tem 1, TNT tem 5 e a água tem 2. Então:
    8x + y = 5z + 2w
  3. Nitrogênio ( N): Ácido nítrico tem 1 nitrogênio e TNT tem 3. Então:
    y = 3z
  4. Oxigênio ( O): Ácido nítrico tem 3 oxigênios, TNT tem 6 e a água tem 1. Então:
    3y = 6z + w
Esse é o sistema de equações que precisamos resolver.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, observamos que a primeira equação pode ser simplificada:
7x = 7z implies x = z
Isso nos diz que os coeficientes de tolueno e TNT são iguais.

Passo 5

Da terceira equação:
y = 3z
Isso relaciona o coeficiente do ácido nítrico ( y) com o do TNT ( z).

Passo 6

Agora, vamos usar a quarta equação:
3y = 6z + w
Substituindo y por 3z (da terceira equação):
3(3z) = 6z + w implies 9z = 6z + w implies w = 3z
Então, o coeficiente da água ( w) é três vezes o coeficiente do TNT ( z).

Passo 7

Vamos agora para a segunda equação:
8x + y = 5z + 2w
Sabemos que x = z, y = 3z e w = 3z. Substituindo:
8z + 3z = 5z + 2(3z) implies 11z = 5z + 6z implies 11z = 11z
Isso confirma que a equação é válida para qualquer valor de z, o que indica que o sistema tem infinitas soluções, desde que os coeficientes sejam proporcionais.

Passo 8

Como temos múltiplas soluções, podemos escolher um valor para z para encontrar os outros coeficientes. Geralmente, escolhemos z = 1 para simplificar.
Então:
  • z = 1
  • x = z = 1
  • y = 3z = 3
  • w = 3z = 3
Portanto, os coeficientes são:
1, C7H8 + 3, HNO3 1, C7H5O6N3 + 3, H2O

Resposta

O sistema é consistente e suas soluções são proporcionais, podendo ser representadas como:
x = z, y = 3z, w = 3z
Escolhendo z = 1, temos:
1, C7H8 + 3, HNO3 1, C7H5O6N3 + 3, H2O
Do ponto de vista químico, faz sentido o sistema ter múltiplas soluções porque os coeficientes podem ser multiplicados por um mesmo fator sem alterar a proporção entre os reagentes e produtos na reação balanceada.

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