Sob condições controladas, pode-se misturar tolueno e ácido nítrico para se produzir trinitrotolueno e também água como sub-produto (trinitrotolueno é conhecido como TNT). O número de átomos presente em cada elemento antes da reação
deve ser o mesmo presente depois da reação. Aplicando esse princípio aos elementos e obtemos o seguinte sistema linear:
Mostre que esse sistema é consistente e encontre suas soluções. Faz sentido do ponto de vista químico o sistema ter múltiplas soluções?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma reação química controlada onde misturamos tolueno (C7H8) com ácido nítrico (HNO3) para produzir trinitrotolueno (TNT) (C7H5O6N3) e água (H2O). A ideia central aqui é que, na reação química, o número de átomos de cada elemento deve ser o mesmo antes e depois da reação. Isso é chamado de Lei da Conservação da Massa.
Para resolver esse problema, precisamos montar e resolver um sistema de equações que representa a conservação de cada elemento envolvido na reação: Carbono (C), Hidrogênio (H), Nitrogênio (N) e Oxigênio (O).
Passo 2
Vamos anotar a equação química com os coeficientes desconhecidos:
x, C7H8 + y, HNO3 z, C7H5O6N3 + w, H2O
Aqui, x, y, z e w são os coeficientes que precisamos determinar para balancear a reação.
Passo 3
Agora, vamos criar as equações baseadas na conservação de cada elemento:
Carbono (C): Cada molécula de tolueno tem 7 átomos de carbono e cada molécula de TNT também tem 7. Então:
7x = 7z
Hidrogênio (H): Tolueno tem 8 hidrogênios, ácido nítrico tem 1, TNT tem 5 e a água tem 2. Então:
8x + y = 5z + 2w
Nitrogênio (N): Ácido nítrico tem 1 nitrogênio e TNT tem 3. Então:
y = 3z
Oxigênio (O): Ácido nítrico tem 3 oxigênios, TNT tem 6 e a água tem 1. Então:
3y = 6z + w
Esse é o sistema de equações que precisamos resolver.
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, observamos que a primeira equação pode ser simplificada:
7x = 7z implies x = z
Isso nos diz que os coeficientes de tolueno e TNT são iguais.
Passo 5
Da terceira equação:
y = 3z
Isso relaciona o coeficiente do ácido nítrico (y) com o do TNT (z).
Passo 6
Agora, vamos usar a quarta equação:
3y = 6z + w
Substituindo y por 3z (da terceira equação):
3(3z) = 6z + w implies 9z = 6z + w implies w = 3z
Então, o coeficiente da água (w) é três vezes o coeficiente do TNT (z).
Isso confirma que a equação é válida para qualquer valor de z, o que indica que o sistema tem infinitas soluções, desde que os coeficientes sejam proporcionais.
Passo 8
Como temos múltiplas soluções, podemos escolher um valor para z para encontrar os outros coeficientes. Geralmente, escolhemos z = 1 para simplificar.
Então:
z = 1
x = z = 1
y = 3z = 3
w = 3z = 3
Portanto, os coeficientes são:
1, C7H8 + 3, HNO3 1, C7H5O6N3 + 3, H2O
Resposta
O sistema é consistente e suas soluções são proporcionais, podendo ser representadas como:
x = z, y = 3z, w = 3z
Escolhendo z = 1, temos:
1, C7H8 + 3, HNO3 1, C7H5O6N3 + 3, H2O
Do ponto de vista químico, faz sentido o sistema ter múltiplas soluções porque os coeficientes podem ser multiplicados por um mesmo fator sem alterar a proporção entre os reagentes e produtos na reação balanceada.