Classifique cada sistema abaixo em inconsistente, consistente com uma única solução ou consistente com múltiplas soluções, baseando-se nos conceitos de posto e nulidade. Se for consistente, resolva o sistema.
Passo 1
Beleza! A gente tem um sistema de equações aqui com 5 equações e 2 incógnitas (x e y). O objetivo é ver se esse sistema é inconsistente (sem solução), consistente com uma única solução ou consistente com várias soluções. Para isso, vamos usar os conceitos de posto e nulidade que estão relacionados à teoria de sistemas lineares. Precisamos montar a matriz aumentada do sistema e analisar o posto dela comparando com o número de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. Cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes de x, y e o termo independente:
Agora, vamos calcular o posto dessa matriz. O posto é o número máximo de linhas linearmente independentes. Vamos realizar operações elementares para simplificar a matriz:
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Continue simplificando até obter linhas nulas ou identificar inconsistências. Após simplificações, descobrimos que o posto da matriz aumentada é 2.
Passo 4
Agora, vamos comparar o posto da matriz aumentada com o posto da matriz dos coeficientes (sem a coluna dos termos independentes). Se os postos forem iguais e igualem ao número de variáveis, o sistema é consistente com uma única solução. Se os postos forem iguais mas menores que o número de variáveis, há múltiplas soluções. Se forem diferentes, o sistema é inconsistente.
No nosso caso, o posto da matriz dos coeficientes também é 2, que é igual ao número de variáveis (x e y). Logo, o sistema é consistente com uma única solução.
Passo 5
Agora que sabemos que há uma única solução, vamos resolver o sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a substituição.
Da primeira equação:
x + y = 1 Rightarrow x = 1 - y
Substituindo x na segunda equação:
2(1 - y) + y = 3 2 - 2y + y = 3 2 - y = 3 -y = 1 y = -1
Agora, substituindo y na expressão de x:
x = 1 - (-1) = 2
Resposta
O sistema é consistente com uma única solução: e .