Escreva as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(1,1,1) e tem a direção de um vetor normal ao plano alpha: x=1+2 t y=2-t+3 h ; t, h in R z=t+h

Passo 1

Beleza! A gente tem que escrever as equações simétricas da reta que passa pelo ponto e tem a direção de um vetor normal ao plano . Isso envolve geometria analítica, especificamente trabalhar com vetores normais e equações de reta no espaço. Vou precisar encontrar o vetor normal ao plano e, com isso, usar as coordenadas do ponto para montar as equações simétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano x = 1 + 2t y = 2 - t + 3h z = t + h . O plano está definido de forma paramétrica por:
v1 = 2 -1 1
Aqui, os parâmetros são v2 = 0 3 1 e . Podemos identificar dois vetores diretores do plano tomando e .
Para :
Para :

Passo 3

O vetor normal ao plano é perpendicular a qualquer vetor diretor do plano. Para encontrar o vetor normal n = v1 times v2 = i & j & k 2 & -1 & 1 0 & 3 & 1 , calculamos o produto vetorial entre n = i((-1)(1) - (1)(3)) - j((2)(1) - (1)(0)) + k((2)(3) - (-1)(0)) = -4 -2 6 e n = -2 -1 3 :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 4

Agora que temos o vetor de direção da reta x = 1 - 2t y = 1 - t z = 1 + 3t , que é o vetor normal t = x - 1-2 = y - 1-1 = z - 13 , e sabemos que a reta passa pelo ponto 1 - x2 = 1 - y1 = z - 13 , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Para obter as equações simétricas, resolvemos cada equação paramétrica para :
Simplificando os sinais:

Resposta

As equações simétricas da reta 1 - x2 = 1 - y1 = z - 13 são:

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