Determine o ângulo que a reta r: x=-y=z forma com o plano alpha nos itens a seguir.
alpha:lx=1+2 h-t y=h+t ; z=4-2 t h, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o ângulo que a reta alpha: x = 1 + 2h - t y = h + t z = 4 - 2t h, t in R forma com o plano , que é definido pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar a direção da reta e a normal do plano. Com esses vetores, podemos usar a fórmula do ângulo entre a reta e o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta x = t, y = -t, z = t . A reta é dada por v = 1 -1 1 . Podemos reescrever isso parametrizando uma variável, digamos :
Assim, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor normal do plano x = 1 + 2h - t y = h + t z = 4 - 2t . Para isso, vamos reescrever as equações paramétricas do plano:
u = 2 1 0 (associado a h)
Podemos expressar o ponto qualquer no plano como w = -1 1 -2 (associado a t) . As direções do plano são dadas pelos coeficientes dos parâmetros n = u times w = i & j & k 2 & 1 & 0 -1 & 1 & -2 = i(1 cdot (-2) - 0 cdot 1) - j(2 cdot (-2) - 0 cdot (-1)) + k(2 cdot 1 - 1 cdot (-1)) e n = -2 4 3 . Assim, temos dois vetores diretores no plano:
Para encontrar o vetor normal do plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores diretores:

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor da reta 1 -1 1 e o vetor normal do plano -2 4 3 , podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo sin theta = |v cdot n||v| cdot |n| entre a reta e o plano:
Aqui, é o produto escalar entre os dois vetores, e e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar v cdot n = (1)(-2) + (-1)(4) + (1)(3) = -2 -4 +3 = -3 :
O valor absoluto é .

Passo 6

Agora, vamos calcular as normas dos vetores |v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 e |n| = raiz(-2)^2 + 4^2 + 3^2 = raiz4 + 16 + 9 = raiz29 :

Passo 7

Agora, aplicamos esses valores na fórmula do seno do ângulo:
sin theta = 3raiz3 cdot raiz29 = 3raiz87
Para facilitar, podemos racionalizar o denominador:
sin theta = 3raiz8787 = raiz8729

Passo 8

Finalmente, para encontrar o ângulo theta = arcsin(raiz8729) , usamos a função arco seno:
theta approx 30^circ
Calculando isso com uma calculadora, temos aproximadamente:

Resposta

O ângulo que a reta forma com o plano é aproximadamente .

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