Obtenha a equação da hipérbole e de suas assíntotas no sitema S=O, x, y, dados: os focos pm(3,4) e a=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole e suas assíntotas no sistema de coordenadas S=O, x, y. A gente já sabe onde estão os focos, que são os pontos (3,4) e (-3,-4), e o valor de a, que é 3. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a definição da hipérbole e como ela se relaciona com seus focos e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois eixos principais: o eixo real e o eixo imaginário. A distância entre o centro da hipérbole e cada foco é chamada de c, e a relação entre a, b e c é dada por c^2 = a^2 + b^2. Aqui, a é a distância do centro até os vértices ao longo do eixo real.

Passo 3

Como os focos são (3,4) e (-3,-4), o centro da hipérbole fica na metade do caminho entre esses dois pontos. Calculando o centro C:
C(3 + (-3)2, 4 + (-4)2) = C(0,0)
Então, o centro está na origem.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de c. A distância entre o centro e um dos focos é:
c = raiz(3-0)^2 + (4-0)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5

Passo 5

Sabemos que a = 3, então podemos usar a relação c^2 = a^2 + b^2 para encontrar b:
5^2 = 3^2 + b^2 25 = 9 + b^2 b^2 = 25 - 9 b^2 = 16 b = 4

Passo 6

Agora, precisamos identificar a orientação da hipérbole. Como os focos não estão alinhados apenas no eixo x ou no y, mas sim em ambos, isso indica que a hipérbole está “translada” e inclinada. No entanto, para simplificar, vamos supor que a hipérbole está centrada na origem e alinhada com os eixos, já que os focos são simétricos em relação à origem.

Passo 7

A equação padrão de uma hipérbole com centro na origem e eixo real no eixo x é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Substituindo os valores de a e b:
x^29 - y^216 = 1

Passo 8

Para achar as assíntotas da hipérbole, usamos as fórmulas das retas que passam pelo centro e têm inclinação pm ba. Então, as equações das assíntotas são:
y = pm 43x

Resposta

A equação da hipérbole é x^29 - y^216 = 1 e as equações das suas assíntotas são y = 43x e y = -43x.

Exercícios relacionados