Obtenha a equação da hipérbole e de suas assíntotas no sitema
, dados: os focos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole e suas assíntotas no sistema de coordenadas
. A gente já sabe onde estão os focos, que são os pontos
e
, e o valor de
, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a definição da hipérbole e como ela se relaciona com seus focos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois eixos principais: o eixo real e o eixo imaginário. A distância entre o centro da hipérbole e cada foco é chamada de
, e a relação entre
,
e
é dada por
. Aqui,
é a distância do centro até os vértices ao longo do eixo real.
Passo 3
Como os focos são
e
, o centro da hipérbole fica na metade do caminho entre esses dois pontos. Calculando o centro
:
Então, o centro está na origem.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor de
. A distância entre o centro e um dos focos é:
Passo 5
Sabemos que
, então podemos usar a relação
para encontrar
:
Passo 6
Agora, precisamos identificar a orientação da hipérbole. Como os focos não estão alinhados apenas no eixo
ou no
, mas sim em ambos, isso indica que a hipérbole está “translada” e inclinada. No entanto, para simplificar, vamos supor que a hipérbole está centrada na origem e alinhada com os eixos, já que os focos são simétricos em relação à origem.
Passo 7
A equação padrão de uma hipérbole com centro na origem e eixo real no eixo
é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 8
Para achar as assíntotas da hipérbole, usamos as fórmulas das retas que passam pelo centro e têm inclinação
. Então, as equações das assíntotas são:
Resposta
A equação da hipérbole é
e as equações das suas assíntotas são
e
.