Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
h)
em
.
h)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para classificar o conjunto
como linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço
, que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Isso significa que estamos lidando com polinômios da forma
.
Para resolver, vamos verificar se algum vetor (no caso, polinômio) no conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se for possível, o conjunto é L.D.; caso contrário, é L.I.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear dos elementos de
que resulta no polinômio zero. Ou seja, queremos ver se existem escalares
e
tais que:
Aqui, o “0” é o polinômio zero, que é simplesmente
.
Passo 3
Agora, vamos distribuir
dentro do segundo termo:
Isso fica:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 5
Da segunda equação, temos que
. Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Encontramos que a única solução para
e
é
e
. Isso significa que não há combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente (L.I.) em
.