Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
h) H=x, 1+x em P1(R).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para classificar o conjunto como linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço , que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Isso significa que estamos lidando com polinômios da forma .
Para resolver, vamos verificar se algum vetor (no caso, polinômio) no conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se for possível, o conjunto é L.D.; caso contrário, é L.I.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear dos elementos de c1 cdot x + c2 cdot (1 + x) = 0 que resulta no polinômio zero. Ou seja, queremos ver se existem escalares e tais que:
Aqui, o “0” é o polinômio zero, que é simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos distribuir c1 cdot x + c2 cdot 1 + c2 cdot x = 0 dentro do segundo termo:
(c1 + c2) cdot x + c2 = 0
Isso fica:

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo c1 + c2 = 0 c2 = 0 , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero:

Passo 5

Da segunda equação, temos que c1 + 0 = 0 implies c1 = 0 . Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Encontramos que a única solução para e é e . Isso significa que não há combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (L.I.) em .

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