Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, denotado por , pode ser gerado pelas cinco matrizes que foram listadas. Ou seja, queremos saber se, combinando essas cinco matrizes de diferentes maneiras (usando adição e multiplicação por escalares), conseguimos formar qualquer matriz 2x2 com números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geração de espaços vetoriais e verificar se essas cinco matrizes são suficientes para gerar todo .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 4. Isso significa que precisamos de quatro matrizes que sejam linearmente independentes para gerar todo o espaço. Se conseguirmos mostrar que quatro dessas cinco matrizes são linearmente independentes e que as demais podem ser escritas como combinações lineares dessas quatro, então sim, elas geram todo .
Passo 3
Vamos listar as cinco matrizes dadas:
Vamos ver se podemos expressar uma delas como combinação das outras.
Passo 4
Vamos tentar expressar a matriz como combinação linear das matrizes , e . Ou seja, queremos encontrar escalares , , e tais que:
Substituindo as matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: 2y + z = 43 -y + z = 2
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Temos agora duas equações com e :
Subtraindo as duas equações:
Substituindo em :
Agora, verificando a quarta equação: , que não é igual a 2. Isso significa que não conseguimos expressar como combinação linear de , e .
Passo 6
Como não conseguimos expressar como uma combinação das outras três matrizes, precisamos incluir no nosso conjunto gerador. Agora temos , , e como possíveis geradores. Vamos verificar se essas quatro matrizes são linearmente independentes.
Após calcular, encontramos que o determinante é diferente de zero, o que significa que as quatro matrizes são linearmente independentes.
Resposta
Verdadeiro. As cinco matrizes listadas geram todo o espaço porque quatro delas são linearmente independentes e a quinta pode ser formada a partir delas, abrangendo assim todas as matrizes 2x2 com números reais.