Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
c) M2(R)=>=r((ll1 & 1 2 & 3),(cc6 & 0 -1 & 4),(ll3 & 0 1 & 7),(ll5 & 1 4 & 2),(ll7 & 1 2 & 9)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, denotado por , pode ser gerado pelas cinco matrizes que foram listadas. Ou seja, queremos saber se, combinando essas cinco matrizes de diferentes maneiras (usando adição e multiplicação por escalares), conseguimos formar qualquer matriz 2x2 com números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geração de espaços vetoriais e verificar se essas cinco matrizes são suficientes para gerar todo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 4. Isso significa que precisamos de quatro matrizes que sejam linearmente independentes para gerar todo o espaço. Se conseguirmos mostrar que quatro dessas cinco matrizes são linearmente independentes e que as demais podem ser escritas como combinações lineares dessas quatro, então sim, elas geram todo .

Passo 3

Vamos listar as cinco matrizes dadas:
A = 1 & 1 2 & 3, B = 6 & 0 -1 & 4, C = 3 & 0 1 & 7, D = 5 & 1 4 & 2, E = 7 & 1 2 & 9
Vamos ver se podemos expressar uma delas como combinação das outras.

Passo 4

Vamos tentar expressar a matriz xA + yB + zC = D como combinação linear das matrizes x1 & 1 2 & 3 + y6 & 0 -1 & 4 + z3 & 0 1 & 7 = 5 & 1 4 & 2 , x + 6y + 3z = 5 x + 0y + 0z = 1 2x - y + z = 4 3x + 4y + 7z = 2 e . Ou seja, queremos encontrar escalares , , e tais que:
Substituindo as matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: 2y + z = 43 -y + z = 2
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Substituindo na terceira equação:
  4. Temos agora duas equações com e :
Subtraindo as duas equações:
Substituindo em :
  1. Agora, verificando a quarta equação: , que não é igual a 2. Isso significa que não conseguimos expressar como combinação linear de , e .

Passo 6

Como não conseguimos expressar como uma combinação das outras três matrizes, precisamos incluir no nosso conjunto gerador. Agora temos , , e como possíveis geradores. Vamos verificar se essas quatro matrizes são linearmente independentes.

Passo 7

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz onde cada coluna é uma das matrizes 1 & 6 & 3 & 5 1 & 0 & 0 & 1 2 & -1 & 1 & 4 3 & 4 & 7 & 2 , det = 1 cdot 0 & 0 & 1 -1 & 1 & 4 4 & 7 & 2 - 6 cdot 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 3 & 7 & 2 + 3 cdot 1 & 0 & 1 2 & -1 & 4 3 & 4 & 2 - 5 cdot 1 & 0 & 0 2 & -1 & 1 3 & 4 & 7 , , e , tratadas como vetores de dimensão 4:
Calculando o determinante dessa matriz:
Após calcular, encontramos que o determinante é diferente de zero, o que significa que as quatro matrizes são linearmente independentes.

Resposta

Verdadeiro. As cinco matrizes listadas geram todo o espaço porque quatro delas são linearmente independentes e a quinta pode ser formada a partir delas, abrangendo assim todas as matrizes 2x2 com números reais.

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h) H=x, 1+x em P1(R).
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a) R^3=W1+W2.