Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados: (-1,-1),(1,1), a=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria envolvendo elipses. O enunciado diz que os focos da elipse estão nos pontos (-1,-1) e (1,1), e que o semieixo maior a vale 3. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre elipses, como a definição dos focos, o semieixo maior e menor, além da posição e orientação da elipse no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Os focos são F1(-1,-1) e F2(1,1). Para encontrar o ponto médio (h, k), usamos as fórmulas:
h = x1 + x22 e k = y1 + y22
Substituindo:
h = -1 + 12 = 0 e k = -1 + 12 = 0
Então, o centro da elipse é (0, 0).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os focos, que é igual a 2c, onde c é a distância do centro a cada foco. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores dos focos:
d = raiz(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 = raiz2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Então, 2c = 2raiz2, o que nos dá c = raiz2.

Passo 4

Sabemos que o semieixo maior a é 3. Precisamos encontrar o semieixo menor b. A relação entre eles é dada por:
a^2 = b^2 + c^2
Substituindo os valores que temos:
3^2 = b^2 + (raiz2)^2 9 = b^2 + 2 b^2 = 9 - 2 b^2 = 7 b = raiz7
Então, o semieixo menor b é raiz7.

Passo 5

Agora, vamos determinar a orientação da elipse. Como os focos não estão alinhados com os eixos coordenados tradicionais (x ou y), a elipse está inclinada em relação aos eixos. Para encontrar a equação de uma elipse inclinada, precisamos determinar o ângulo de inclinação theta.
Os focos estão nos pontos (-1,-1) e (1,1). A reta que passa por esses pontos tem inclinação:
m = 1 - (-1)1 - (-1) = 22 = 1
Então, o ângulo de inclinação theta é 45 graus (ou pi4 radianos).

Passo 6

Com o centro (0,0), os semieixos a=3 e b=raiz7, e a inclinação theta = 45^circ, podemos escrever a equação geral da elipse inclinada:
(x')^2a^2 + (y')^2b^2 = 1
Onde (x', y') são as coordenadas rotacionadas em relação ao centro. A rotação de coordenadas é dada por:
x' = xcostheta + ysintheta y' = -xsintheta + ycostheta
Substituindo theta = 45^circ, costheta = sintheta = raiz22:
x' = raiz22x + raiz22y y' = -raiz22x + raiz22y
Substituindo x' e y' na equação da elipse:
(raiz22x + raiz22y)^29 + (-raiz22x + raiz22y)^27 = 1
Essa é a equação da elipse desejada na forma inclinada.

Resposta

A equação da elipse com focos em (-1,-1) e (1,1), e semieixo maior a = 3, é:
(raiz22x + raiz22y)^29 + (-raiz22x + raiz22y)^27 = 1

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