Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria envolvendo elipses. O enunciado diz que os focos da elipse estão nos pontos
e
, e que o semieixo maior
vale
. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre elipses, como a definição dos focos, o semieixo maior e menor, além da posição e orientação da elipse no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Os focos são
e
. Para encontrar o ponto médio
, usamos as fórmulas:
Substituindo:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os focos, que é igual a
, onde
é a distância do centro a cada foco. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores dos focos:
Então,
, o que nos dá
.
Passo 4
Sabemos que o semieixo maior
é
. Precisamos encontrar o semieixo menor
. A relação entre eles é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Então, o semieixo menor
é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a orientação da elipse. Como os focos não estão alinhados com os eixos coordenados tradicionais (x ou y), a elipse está inclinada em relação aos eixos. Para encontrar a equação de uma elipse inclinada, precisamos determinar o ângulo de inclinação
.
Os focos estão nos pontos
e
. A reta que passa por esses pontos tem inclinação:
Então, o ângulo de inclinação
é 45 graus (ou
radianos).
Passo 6
Com o centro
, os semieixos
e
, e a inclinação
, podemos escrever a equação geral da elipse inclinada:
Onde
são as coordenadas rotacionadas em relação ao centro. A rotação de coordenadas é dada por:
Substituindo
,
:
Substituindo
e
na equação da elipse:
Essa é a equação da elipse desejada na forma inclinada.
Resposta
A equação da elipse com focos em
e
, e semieixo maior
, é: