Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
i) I=2 x^2-x+1,-x^2+x, x^2 em P2(R).

Passo 1

Beleza! A gente tem um conjunto de três polinômios: no espaço . Nosso objetivo aqui é descobrir se esses polinômios são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, a gente vai usar conceitos de álgebra linear sobre dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
c1 cdot (2x^2 - x + 1) + c2 cdot (-x^2 + x) + c3 cdot x^2 = 0
Só tem a solução .

Passo 3

Vamos montar essa equação passo a passo:
c1(2x^2 - x + 1) + c2(-x^2 + x) + c3x^2 = 0
Distribuindo os coeficientes:
(2c1)x^2 + (-c1)x + c1 + (-c2)x^2 + c2x + c3x^2 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Termo de (2c1 - c2 + c3)x^2 + (-c1 + c2)x + c1 = 0 :
  • Termo de :
  • Termo constante:
Assim, a equação fica:

Passo 4

Para essa equação ser verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo e na primeira equação:

Resposta

Os únicos valores que satisfazem o sistema são . Portanto, o conjunto é linearmente independente (L.I.) em .

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