Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
i)
em
.
i)
Passo 1
Beleza! A gente tem um conjunto de três polinômios:
no espaço
. Nosso objetivo aqui é descobrir se esses polinômios são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, a gente vai usar conceitos de álgebra linear sobre dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
Só tem a solução
.
Passo 3
Vamos montar essa equação passo a passo:
Distribuindo os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
- Termo de
: - Termo de
: - Termo constante:
Assim, a equação fica:
Passo 4
Para essa equação ser verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
- Da terceira equação:
- Substituindo
na segunda equação: → - Substituindo
e na primeira equação: →
Resposta
Os únicos valores que satisfazem o sistema são
. Portanto, o conjunto
é linearmente independente (L.I.) em
.