Determine o valor de
para que
seja uma identidade.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de
para que a expressão seja sempre verdadeira, ou seja, seja uma identidade para qualquer valor de
. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de trigonometria e expandir a expressão para isolar o
.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado da soma . Lembrando que
, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica fundamental . Substituindo na equação que acabamos de expandir:
Passo 4
Substituindo essa simplificação de volta na equação original, temos:
Simplificando mais:
Ou seja:
Passo 5
Para que essa equação seja uma identidade verdadeira para todo
, o coeficiente de deve ser igual a zero. Portanto:
Resposta
O valor de
que torna a expressão uma identidade é
.