Determine o valor de k para que (cos x+sen x)^2+k sen x cos x-1=0 seja uma identidade.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de para que a expressão seja sempre verdadeira, ou seja, seja uma identidade para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de trigonometria e expandir a expressão para isolar o .

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da soma . Lembrando que (cos x + sen x)^2 = cos^2x + 2sen x cos x + sen^2x , temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica fundamental . Substituindo na equação que acabamos de expandir:

Passo 4

Substituindo essa simplificação de volta na equação original, temos:
Simplificando mais:
Ou seja:

Passo 5

Para que essa equação seja uma identidade verdadeira para todo 2 + k = 0 implies k = -2 , o coeficiente de deve ser igual a zero. Portanto:

Resposta

O valor de que torna a expressão uma identidade é .

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