Encontre se a transformação linear é definida por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a transformação linear sabendo que transforma em e em .
Matéria envolvida: Transformações lineares em álgebra linear.
O que vamos precisar: Entender como expressar uma transformação linear a partir de suas imagens em vetores específicos e usar propriedades de linearidade para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Ou seja, se , podemos escrever:
Mas no nosso caso, já temos duas imagens conhecidas de :
Vamos usar essas informações para encontrar os coeficientes e da matriz de .
Passo 3
Vamos aplicar a transformação linear nas entradas que conhecemos:
Para :
Para :
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de e .
Primeiro, da segunda transformação:
Agora, substituímos e nas primeiras equações:
Simplificando:
Resolvendo:
Passo 5
Agora que temos todos os coeficientes:
Podemos escrever a matriz de F = -1 & 2 -3 & 1 :
Passo 6
Com a matriz de F(a, b) = -1 & 2 -3 & 1 a b = (-a + 2b, -3a + b) conhecida, podemos encontrar para qualquer :