Encontre F(a, b) se a transformação linear F: R^2 R^2 é definida por F(1,2)=(3,-1) e F(0,1)=(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a transformação linear sabendo que transforma em e em .
Matéria envolvida: Transformações lineares em álgebra linear.
O que vamos precisar: Entender como expressar uma transformação linear a partir de suas imagens em vetores específicos e usar propriedades de linearidade para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear F(x, y) = a & b c & d x y = (ax + by, cx + dy) pode ser representada por uma matriz. Ou seja, se , podemos escrever:
Mas no nosso caso, já temos duas imagens conhecidas de :
Vamos usar essas informações para encontrar os coeficientes e da matriz de .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação linear nas entradas que conhecemos:
  1. Para a(1) + b(2) = 3 c(1) + d(2) = -1 :
a(0) + b(1) = 2 c(0) + d(1) = 1
  1. Para :

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de b = 2 d = 1 e a(1) + 2(2) = 3 c(1) + 1(2) = -1 .
Primeiro, da segunda transformação:
a + 4 = 3 c + 2 = -1
Agora, substituímos a = 3 - 4 = -1 c = -1 - 2 = -3 e nas primeiras equações:
Simplificando:
Resolvendo:

Passo 5

Agora que temos todos os coeficientes:
a = -1 b = 2 c = -3 d = 1
Podemos escrever a matriz de F = -1 & 2 -3 & 1 :

Passo 6

Com a matriz de F(a, b) = -1 & 2 -3 & 1 a b = (-a + 2b, -3a + b) conhecida, podemos encontrar para qualquer :

Resposta

A transformação linear desejada é:
F(a, b) = (-a + 2b, -3a + b)

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