Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
f)
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três matrizes
e nosso objetivo é descobrir se elas são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre espaços vetoriais e combinações lineares. Mas relaxa, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente independente se nenhuma das matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, você não consegue pegar umas e combinar pra formar a outra. Se isso for possível, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Agora, vamos ver quais matrizes temos no conjunto
:
São três matrizes
. Para testar a independência, vamos ver se existe uma combinação dessas matrizes que resulta na matriz zero, de forma não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero).
Passo 4
Vamos supor que existe uma combinação linear dessas matrizes igual a zero:
$$
a
+
b
+
c
$$
Aqui,
,
e
são números reais. Nosso objetivo é encontrar valores de
,
e
que satisfaçam essa equação, além de descobrir se apenas a solução trivial (
) existe.
Passo 5
Vamos escrever a equação acima componente a componente:
Para a posição (1,1):
Para a posição (1,2):
Para a posição (2,1):
Para a posição (2,2):
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 7
Começando pela equação 2:
Substituindo na equação 4:
Agora, usando
na equação 3:
Então, se
, temos
e
Passo 8
A solução que encontramos é
, que é a solução trivial. Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.
Resposta
Como a única solução para
,
e
é a trivial (
), o conjunto
é linearmente independente (L.I.).