Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
f) F=(rr1 & 1 0 & -1),(rr1 & -1 1 & 0),(ll1 & 0 3 & 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três matrizes F e nosso objetivo é descobrir se elas são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre espaços vetoriais e combinações lineares. Mas relaxa, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente independente se nenhuma das matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, você não consegue pegar umas e combinar pra formar a outra. Se isso for possível, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Agora, vamos ver quais matrizes temos no conjunto F:
F = 1 & 1 0 & -1 , 1 & -1 1 & 0 , 1 & 0 3 & 2
São três matrizes 2 times 2. Para testar a independência, vamos ver se existe uma combinação dessas matrizes que resulta na matriz zero, de forma não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero).

Passo 4

Vamos supor que existe uma combinação linear dessas matrizes igual a zero:

$$
a a 1 & 1 0 & -1 + b 1 & -1 1 & 0 + c 1 & 0 3 & 2 = 0 & 0 0 & 0
+
b a
+
c b

c
$$
Aqui, a, b e c são números reais. Nosso objetivo é encontrar valores de a = b = c = 0, e que satisfaçam essa equação, além de descobrir se apenas a solução trivial ( ) existe.

Passo 5

Vamos escrever a equação acima componente a componente:
Para a posição (1,1):
a(1) + b(1) + c(1) = 0 Rightarrow a + b + c = 0
Para a posição (1,2):
a(1) + b(-1) + c(0) = 0 Rightarrow a - b = 0
Para a posição (2,1):
a(0) + b(1) + c(3) = 0 Rightarrow b + 3c = 0
Para a posição (2,2):
a(-1) + b(0) + c(2) = 0 Rightarrow -a + 2c = 0

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
  1. a + b + c = 0
  2. a - b = 0
  3. b + 3c = 0
  4. -a + 2c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.

Passo 7

Começando pela equação 2: a - b = 0 Rightarrow a = b
Substituindo na equação 4: -a + 2c = 0 Rightarrow -b + 2c = 0 Rightarrow b = 2c
Agora, usando a = b = 2c na equação 3: b + 3c = 0 Rightarrow 2c + 3c = 0 Rightarrow 5c = 0 Rightarrow c = 0
Então, se c = 0, temos b = 2c = 0 e a = b = 0

Passo 8

A solução que encontramos é a = b = c = 0, que é a solução trivial. Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.

Resposta

Como a única solução para a, b e c é a trivial ( a = b = c = 0), o conjunto F é linearmente independente (L.I.).

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