Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida?
A=(ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ) B=(ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & -4 1 & 0 & 0 & 0 & 2 ) C=(ccccc 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & -1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar quais das matrizes A, B e C estão na forma escalonada reduzida. A forma escalonada reduzida é um tipo especial de matriz que facilita a resolução de sistemas lineares. Para verificar isso, precisamos checar algumas regras específicas sobre os pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha) e a posição desses pivôs nas colunas.

Passo 2

Vamos começar analisando a Matriz A:
A=(ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
Primeiro, verificamos se cada pivô é 1 e se está à direita do pivô da linha acima. Observamos que:
  • A primeira linha tem um pivô em 1 na primeira coluna.
  • A segunda linha tem um pivô em 1 na terceira coluna, que está à direita da primeira coluna.
  • A terceira linha tem um pivô em 1 na quarta coluna, à direita da terceira coluna.
  • A quarta linha é toda de zeros, o que está ok.
Além disso, não deve haver mais de um pivô por coluna e todos os elementos acima e abaixo dos pivôs devem ser zero, o que está cumprido na Matriz A. Então, a Matriz A está na forma escalonada reduzida.

Passo 3

Agora, vamos para a Matriz B:
B=(ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & -4 1 & 0 & 0 & 0 & 2 )
Vamos verificar os pivôs:
  • A primeira linha tem um pivô em 1 na primeira coluna.
  • A segunda linha tem um pivô em 1 na terceira coluna.
  • A terceira linha também tem um 1 na primeira coluna.
Aqui, temos um problema: a terceira linha tem um pivô na mesma coluna da primeira linha, o que viola a regra de que cada coluna com pivô deve ter apenas um pivô. Além disso, na terceira linha, os elementos acima do pivô não são todos zero. Portanto, a Matriz B não está na forma escalonada reduzida.

Passo 4

Por fim, vamos analisar a Matriz C:
C=(ccccc 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & -1 & 2 )
Primeiro, ajustamos para que os pivôs sejam 1. Na terceira linha, multiplicamos por -1:
(ccccc 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & 1 & -2 )
Agora, verificamos:
  • A primeira linha tem um pivô em 1 na segunda coluna.
  • A segunda linha tem um pivô em 1 na terceira coluna.
  • A terceira linha tem um pivô em 1 na quarta coluna.
Cada pivô está à direita do pivô da linha acima e não há mais de um pivô por coluna. Além disso, todos os elementos acima e abaixo dos pivôs são zero. Assim, a Matriz C está na forma escalonada reduzida.

Resposta

As matrizes A e C estão na forma escalonada reduzida.

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