Decida se a transformação linear dada é não singular. Se não for, encontre um vetor não nulo cuja imagem seja 0 ; caso contrário, encontre uma fórmula para a transformação inversa. definida por ,
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma transformação linear definida por
A tarefa é decidir se essa transformação é não singular (ou seja, se ela possui um inverso). Se ela não for não singular (ou seja, se for singular), precisamos encontrar um vetor não nulo tal que . Caso contrário, se for não singular, devemos encontrar uma fórmula para a transformação inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, matrizes associadas e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Como vai de para , que é um espaço de dimensão 3 (já que polinômios de grau até 2 têm 3 coeficientes: e o termo constante), podemos representar por uma matriz de ordem .
Para encontrar a matriz, vamos ver como age sobre os vetores da base canônica de , ou seja, , e .
Calculando:
Agora, escrevemos a matriz com os coeficientes desses polinômios:
Passo 3
Agora que temos a matriz det(A) = 1 & 1 & 0 1 & 2 & 2 0 & 1 & 1 , precisamos verificar se ela é não singular, ou seja, se o seu determinante é diferente de zero. Se o determinante for zero, a transformação será singular.
Calculando pelo método de Sarrus ou pela regra de Laplace:
Como , a matriz é não singular.
Passo 4
Como a matriz A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) é não singular, a transformação A^-1 = 1-1 cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 1) & -(1 cdot 1 - 2 cdot 0) & (1 cdot 1 - 2 cdot 0) -(1 cdot 1 - 2 cdot 0) & (1 cdot 1 - 0 cdot 0) & -(1 cdot 1 - 0 cdot 0) (1 cdot 2 - 2 cdot 1) & -(1 cdot 1 - 1 cdot 0) & (1 cdot 2 - 1 cdot 1) também é não singular, ou seja, ela possui um inverso. Agora, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = -1 cdot 0 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 1 = 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 , que nos permitirá definir a transformação inversa .
Para calcular , usamos a fórmula da matriz inversa para matrizes :
onde é a adjunta de .
Cálculo da adjunta envolveria encontrar os cofactores de cada elemento, mas para simplificar, vamos usar métodos de eliminação ou uma calculadora de matrizes para encontrar:
Simplificando:
Resposta
A transformação linear G^-1(p(t)) = A^-1 cdot p(t) = 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 cdot p(t) é não singular e sua transformação inversa é dada pela matriz inversa: