Mostre que são lineares as aplicações dadas.
definida por
, com
escalares reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que certas aplicações são lineares. Estamos trabalhando com funções que vão de
para
, ou seja, transformam vetores bidimensionais em outros vetores bidimensionais. A aplicação dada é
, onde
,
,
e
são números reais. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma aplicação linear e quais propriedades precisamos verificar para confirmar que
é realmente linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma aplicação ser linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade (ou preservação da soma): Para quaisquer vetores
e em , . - Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar): Para qualquer vetor
em e qualquer escalar em , .
Vamos verificar essas duas propriedades para a aplicação
dada.
Passo 3
Primeiro, vamos checar a aditividade. Suponha que temos dois vetores qualquer em
, digamos
e
. Vamos calcular
e
:
Agora, vamos calcular
:
Comparando as duas expressões, vemos que
. Então, a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Vamos pegar um vetor qualquer
em
e um escalar
em
. Calculamos
e
:
Novamente, vemos que
. Assim, a segunda propriedade também está satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma aplicação linear.