Mostre que são lineares as aplicações dadas. F: R^2 R^2 definida por F(x, y)=(a x+b y, c x+d y), com a, b, c, d escalares reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que certas aplicações são lineares. Estamos trabalhando com funções que vão de R^2 para R^2, ou seja, transformam vetores bidimensionais em outros vetores bidimensionais. A aplicação dada é F(x, y) = (a x + b y, c x + d y), onde a, b, c e d são números reais. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma aplicação linear e quais propriedades precisamos verificar para confirmar que F é realmente linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma aplicação ser linear. Uma função F: R^2 R^2 é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade (ou preservação da soma): Para quaisquer vetores u e v em R^2, F(u + v) = F(u) + F(v).
  2. Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar): Para qualquer vetor u em R^2 e qualquer escalar k em R, F(k u) = k F(u).
Vamos verificar essas duas propriedades para a aplicação F dada.

Passo 3

Primeiro, vamos checar a aditividade. Suponha que temos dois vetores qualquer em R^2, digamos u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Vamos calcular F(u + v) e F(u) + F(v):
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2) = (a(x1 + x2) + b(y1 + y2), c(x1 + x2) + d(y1 + y2))
= (a x1 + a x2 + b y1 + b y2, c x1 + c x2 + d y1 + d y2)
Agora, vamos calcular F(u) + F(v):
F(u) = F(x1, y1) = (a x1 + b y1, c x1 + d y1)
F(v) = F(x2, y2) = (a x2 + b y2, c x2 + d y2)
F(u) + F(v) = (a x1 + b y1 + a x2 + b y2, c x1 + d y1 + c x2 + d y2)
Comparando as duas expressões, vemos que F(u + v) = F(u) + F(v). Então, a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Vamos pegar um vetor qualquer u = (x, y) em R^2 e um escalar k em R. Calculamos F(k u) e k F(u):
k u = (k x, k y)
F(k u) = F(k x, k y) = (a(k x) + b(k y), c(k x) + d(k y)) = (k(a x + b y), k(c x + d y))
k F(u) = k cdot F(x, y) = k cdot (a x + b y, c x + d y) = (k(a x + b y), k(c x + d y))
Novamente, vemos que F(k u) = k F(u). Assim, a segunda propriedade também está satisfeita.

Resposta

Como a aplicação F(x, y) = (a x + b y, c x + d y) satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que F é uma aplicação linear.

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