Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. H=1, sen^2(x), cos ^2(x) em F(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto e precisa descobrir se ele é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD) dentro do espaço das funções reais . Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear das funções e ver se conseguimos expressar uma delas como combinação das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa Linearmente Independente. Um conjunto de funções é LI se a única combinação linear que dá a função zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos escrever uma função como múltiplo ou soma das outras, o conjunto é LI. Se conseguirmos, então é LD.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto a cdot 1 + b cdot sin^2(x) + c cdot cos^2(x) = 0 para todo x in R . Queremos ver se existe uma combinação dos coeficientes tais que:

Passo 4

Vamos usar uma identidade trigonométrica super útil: sabemos que
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Isso já nos dá uma pista! Se rearranjarmos a identidade, temos:
sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
Isso mostra que uma das funções do conjunto pode ser escrita como combinação das outras.

Passo 5

Usando a equação 1 cdot 1 + (-1) cdot sin^2(x) + 1 cdot cos^2(x) = 0 , podemos reescrever:
Isso significa que encontramos coeficientes , , e que satisfazem a combinação linear igual a zero, sem que todos sejam zero.

Resposta

O conjunto é Linearmente Dependente (LD).

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