Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
e precisa descobrir se ele é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD) dentro do espaço das funções reais
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear das funções e ver se conseguimos expressar uma delas como combinação das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa Linearmente Independente. Um conjunto de funções é LI se a única combinação linear que dá a função zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos escrever uma função como múltiplo ou soma das outras, o conjunto é LI. Se conseguirmos, então é LD.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Queremos ver se existe uma combinação dos coeficientes
tais que:
Passo 4
Vamos usar uma identidade trigonométrica super útil: sabemos que
Isso já nos dá uma pista! Se rearranjarmos a identidade, temos:
Isso mostra que uma das funções do conjunto pode ser escrita como combinação das outras.
Passo 5
Usando a equação
, podemos reescrever:
Isso significa que encontramos coeficientes
,
, e
que satisfazem a combinação linear igual a zero, sem que todos sejam zero.
Resposta
O conjunto
é Linearmente Dependente (LD).
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