Pode-se ter uma base para Pn(R) formada por n+1 polinômios de grau n ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “Pode-se ter uma base para formada por polinômios de grau ?”.
Aqui, estamos falando de espaços vetoriais, especificamente do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base de um espaço vetorial e qual é a dimensão de .

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Linearmente independentes significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Gerar o espaço significa que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. No caso de , sabemos que uma base padrão é formada pelos polinômios . Isso mostra que a dimensão de é .

Passo 4

Agora, a questão pergunta se é possível formar uma base usando polinômios todos de grau . Vamos pensar nisso: se todos os polinômios têm grau , seus termos de maior grau são todos com coeficientes diferentes.

Passo 5

Para que os polinômios sejam linearmente independentes, a única combinação linear que resulta no polinômio nulo é quando todos os coeficientes na combinação são zero. No entanto, se todos os polinômios têm o termo , isso pode levar a uma dependência linear, já que os termos de grau podem se cancelar entre si, dependendo dos coeficientes.

Passo 6

Isso significa que, geralmente, não conseguimos garantir que polinômios de grau sejam linearmente independentes. Portanto, não podemos formar uma base de apenas com polinômios de grau .

Resposta

Não, não é possível formar uma base para apenas com polinômios de grau .

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