Pode-se ter uma base para
formada por
polinômios de grau
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “Pode-se ter uma base para
formada por
polinômios de grau
?”.
Aqui, estamos falando de espaços vetoriais, especificamente do espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base de um espaço vetorial e qual é a dimensão de
.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Linearmente independentes significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Gerar o espaço significa que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. No caso de
, sabemos que uma base padrão é formada pelos polinômios
. Isso mostra que a dimensão de
é
.
Passo 4
Agora, a questão pergunta se é possível formar uma base usando
polinômios todos de grau
. Vamos pensar nisso: se todos os
polinômios têm grau
, seus termos de maior grau são todos
com coeficientes diferentes.
Passo 5
Para que os polinômios sejam linearmente independentes, a única combinação linear que resulta no polinômio nulo é quando todos os coeficientes na combinação são zero. No entanto, se todos os polinômios têm o termo
, isso pode levar a uma dependência linear, já que os termos de grau
podem se cancelar entre si, dependendo dos coeficientes.
Passo 6
Isso significa que, geralmente, não conseguimos garantir que
polinômios de grau
sejam linearmente independentes. Portanto, não podemos formar uma base de
apenas com polinômios de grau
.
Resposta
Não, não é possível formar uma base para
apenas com
polinômios de grau
.
Exercícios relacionados
Considere
e
. Encontre uma base de
que contenha uma base de
e também uma base de
.
Mostre que o conjunto
é uma base para o espaço
. Em seguida, escreva o polinômio
como combinação linear desses elementos.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Considere
e
. Determine as dimensões de
e
.