Considere o subespaço vetorial W=(x1, x2, ldots, xn, ldots) in R^infty mid xi=xi-1+xi-2 para todo i >= 3. Existe alguma progressão geométrica (1, r, r^2, r^3, ldots) in W? Qual a dimensão de W?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem um subespaço vetorial chamado , que é definido por sequências infinitas de números reais onde cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores. A pergunta quer saber se existe alguma progressão geométrica do tipo que pertence a esse subespaço . Além disso, precisamos descobrir qual é a dimensão de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é o subespaço xi = xi-1 + xi-2 para todo i >= 3 . Ele é composto por todas as sequências infinitas de números reais que satisfazem a relação:
Isso significa que, a partir do terceiro termo, cada número na sequência é a soma dos dois anteriores.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma progressão geométrica. É uma sequência onde cada termo é multiplicado por uma constante para obter o próximo termo. No caso, a progressão geométrica dada é .

Passo 4

Queremos saber se essa progressão geométrica está dentro de r^i = r^i-1 + r^i-2 . Para isso, precisamos verificar se ela satisfaz a condição que define . Ou seja, para todo :

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Dividindo ambos os lados por r^2 = r + 1 (que é diferente de zero se r^2 - r - 1 = 0 ), temos:
Assim, a condição para que a progressão geométrica esteja em é que satisfaça a equação quadrática:

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os possíveis valores de r = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52 . Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 + raiz52 e r = 1 - raiz52
Portanto, existem dois valores de :

Passo 7

Com esses valores de (1, 1 + raiz52, (1 + raiz52)^2, ldots) e (1, 1 - raiz52, (1 - raiz52)^2, ldots) , temos duas progressões geométricas que pertencem a :

Passo 8

Agora, vamos determinar a dimensão de . O subespaço é definido por uma relação linear de segunda ordem, ou seja, a partir dos dois primeiros termos, todos os demais são determinados. Isso significa que é gerado por dois vetores independentes, correspondentes às duas soluções da equação quadrática que encontramos para .

Resposta

Sim, existem duas progressões geométricas da forma e que pertencem a . A dimensão de é 2.

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