Considere o subespaço vetorial para todo . Existe alguma progressão geométrica ? Qual a dimensão de ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem um subespaço vetorial chamado , que é definido por sequências infinitas de números reais onde cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores. A pergunta quer saber se existe alguma progressão geométrica do tipo que pertence a esse subespaço . Além disso, precisamos descobrir qual é a dimensão de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e resolver uma equação quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é o subespaço . Ele é composto por todas as sequências infinitas de números reais que satisfazem a relação:
Isso significa que, a partir do terceiro termo, cada número na sequência é a soma dos dois anteriores.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma progressão geométrica. É uma sequência onde cada termo é multiplicado por uma constante para obter o próximo termo. No caso, a progressão geométrica dada é .
Passo 4
Queremos saber se essa progressão geométrica está dentro de . Para isso, precisamos verificar se ela satisfaz a condição que define . Ou seja, para todo :
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Dividindo ambos os lados por (que é diferente de zero se ), temos:
Assim, a condição para que a progressão geométrica esteja em é que satisfaça a equação quadrática:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os possíveis valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, existem dois valores de :
Passo 7
Com esses valores de , temos duas progressões geométricas que pertencem a :
Passo 8
Agora, vamos determinar a dimensão de . O subespaço é definido por uma relação linear de segunda ordem, ou seja, a partir dos dois primeiros termos, todos os demais são determinados. Isso significa que é gerado por dois vetores independentes, correspondentes às duas soluções da equação quadrática que encontramos para .
Resposta
Sim, existem duas progressões geométricas da forma e que pertencem a . A dimensão de é 2.