Considere
e
. Determine as dimensões de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado nos dá dois conjuntos
e
no espaço tridimensional
, definidos por duas equações lineares:
Precisamos determinar as dimensões de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, soma de subespaços e interseção de subespaços. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de um subespaço é o número de vetores que formam uma base para ele. Como
e
são definidos por uma única equação cada, eles são planos em
e, portanto, cada um tem dimensão 2.
Passo 3
Agora, vamos determinar
, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. A dimensão de
pode ser encontrada usando a fórmula:
Sabemos que
e
. Para encontrar
, precisamos descobrir
.
Passo 4
Vamos encontrar
, que é o conjunto de vetores que pertencem tanto a
quanto a
. Isso significa que queremos encontrar os valores de
,
e
que satisfazem simultaneamente as duas equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as soluções.
Passo 5
Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de uma variável:
Agora, somamos as duas equações:
Passo 6
Substituímos
na primeira equação:
Passo 7
Então, as soluções do sistema são dadas por:
Podemos escrever o vetor solução como:
Isso significa que
é a linha gerada pelo vetor
, ou seja, é uma reta em
com dimensão 1.
Passo 8
Agora que sabemos que
, podemos usar a fórmula que mencionamos anteriormente para encontrar
:
Isso significa que
é o espaço tridimensional completo
, com dimensão 3.
Resposta
A dimensão de
é 3 e a dimensão de
é 1.
Exercícios relacionados
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Pode-se ter uma base para
formada por
polinômios de grau
?
Considere o subespaço vetorial
para todo
. Existe alguma progressão geométrica
? Qual a dimensão de
?
Determine
para que o sistema
tenha soluções próprias.