Considere U=(x, y, z) in R^3 mid 3 x-2 y+z=0 e W=(x, y, z) in R^3 mid 2 x+y-4 z=0. Encontre uma base de R^3 que contenha uma base de U e também uma base de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas subespaços de , chamados e , definidos pelas equações e , respectivamente. A missão aqui é encontrar uma base para todo o espaço que inclua uma base para e também uma para . Vamos precisar de conhecimentos sobre espaços vetoriais, bases e como resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma base para z = -3x + 2y . A equação que define (x, y, z) = (x, y, -3x + 2y) = x cdot (1, 0, -3) + y cdot (0, 1, 2) é . Para encontrar uma base, precisamos achar vetores que satisfaçam essa equação.
Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, podemos expressar os vetores de em termos de e :
Então, uma base para é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para y = -2x + 4z . A equação que define (x, y, z) = (x, -2x + 4z, z) = x cdot (1, -2, 0) + z cdot (0, 4, 1) é . Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, :
Expressando os vetores de em termos de e :
Portanto, uma base para é .

Passo 4

Agora que temos as bases para , (1, 0, -3), (0, 1, 2), (1, -2, 0), (0, 4, 1) , e 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 4 -3 & 2 & 0 & 1 , precisamos encontrar uma base para que inclua ambas. Para isso, vamos juntar os vetores das duas bases e verificar se eles são linearmente independentes.
Vamos combinar as bases:
só precisa de 3 vetores para uma base, então vamos verificar a independência linear.
Vamos montar uma matriz com esses vetores e ver sua classificação:
Ao reduzir a matriz, descobrimos que apenas três vetores são necessários e que os vetores , e são suficientes e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para , (1,, 0,, -3), (0,, 1,, 2), (1,, -2,, 0) , que contém uma base para e também uma base para é:

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