Considere e . Encontre uma base de que contenha uma base de e também uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas subespaços de , chamados e , definidos pelas equações e , respectivamente. A missão aqui é encontrar uma base para todo o espaço que inclua uma base para e também uma para . Vamos precisar de conhecimentos sobre espaços vetoriais, bases e como resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos achar uma base para . A equação que define é . Para encontrar uma base, precisamos achar vetores que satisfaçam essa equação.
Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, podemos expressar os vetores de em termos de e :
Então, uma base para é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para . A equação que define é . Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, :
Expressando os vetores de em termos de e :
Portanto, uma base para é .
Passo 4
Agora que temos as bases para e , precisamos encontrar uma base para que inclua ambas. Para isso, vamos juntar os vetores das duas bases e verificar se eles são linearmente independentes.
Vamos combinar as bases:
só precisa de 3 vetores para uma base, então vamos verificar a independência linear.
Vamos montar uma matriz com esses vetores e ver sua classificação:
Ao reduzir a matriz, descobrimos que apenas três vetores são necessários e que os vetores , e são suficientes e são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para , (1,, 0,, -3), (0,, 1,, 2), (1,, -2,, 0) , que contém uma base para e também uma base para é: