Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. J=1, ln (2 x), ln (x^2) em F(R).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto no espaço das funções reais . Queremos saber se esse conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se conseguimos expressar uma das funções como uma combinação das outras.

Passo 2

Lembra que um conjunto de funções é linearmente independente se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se tivermos:
c1 cdot 1 + c2 cdot ln(2x) + c3 cdot ln(x^2) = 0
Isso deve ser válido somente quando . Se conseguirmos encontrar outros valores para que também satisfazem essa equação, o conjunto será linearmente dependente.

Passo 3

Vamos simplificar as funções para facilitar a análise. Sabemos que:
ln(x^2) = 2ln(x)
ln(2x) = ln(2) + ln(x)
Substituindo essas expressões na equação original:
c1 cdot 1 + c2 cdot (ln(2) + ln(x)) + c3 cdot (2ln(x)) = 0

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
c1 + c2 ln(2) + c2 ln(x) + 2c3 ln(x) = 0
Podemos agrupar os termos semelhantes:
c1 + c2 ln(2) + (c2 + 2c3)ln(x) = 0

Passo 5

Para que essa equação seja válida para todo valor de c1 + c2 ln(2) = 0 c2 + 2c3 = 0 , os coeficientes de cada parte devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação:
c2 = -2c3
Substituindo esse valor na primeira equação:
c1 - 2c3 ln(2) = 0 Rightarrow c1 = 2c3 ln(2)

Passo 7

Observamos que podemos escolher c2 = -2 ln(2) c1 = 2 ln(2) livremente (por exemplo, ). Então, temos:
Isso mostra que existem valores não nulos para que satisfazem a equação original. Portanto, a combinação linear não trivial que resulta em zero existe.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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