Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
no espaço das funções reais
. Queremos saber se esse conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se conseguimos expressar uma das funções como uma combinação das outras.
Passo 2
Lembra que um conjunto de funções é linearmente independente se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se tivermos:
Isso deve ser válido somente quando
. Se conseguirmos encontrar outros valores para
que também satisfazem essa equação, o conjunto será linearmente dependente.
Passo 3
Vamos simplificar as funções para facilitar a análise. Sabemos que:
Substituindo essas expressões na equação original:
Passo 4
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Podemos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa equação seja válida para todo valor de
, os coeficientes de cada parte devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema. Da segunda equação:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Passo 7
Observamos que podemos escolher
livremente (por exemplo,
). Então, temos:
Isso mostra que existem valores não nulos para
que satisfazem a equação original. Portanto, a combinação linear não trivial que resulta em zero existe.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.
Exercícios relacionados
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Considere os vetores
e
. Se
e
, prove que
.
Considere o conjunto
com as operações
e
. Mostre que
é um espaço vetorial.
Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.