Considere o conjunto V=R^2 com as seguintes operações: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2+5, y1+y2) e m odot(x1, y1)=(m x1+5(m-1), m y1). Mostre que W=(x, y) in V mid x=-5 é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Então, temos um exercício de Álgebra Linear onde trabalhamos com espaços vetoriais. O problema nos dá um conjunto com operações de adição e multiplicação por escalar específicas. Precisamos mostrar que o subconjunto é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos verificar se satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial usando as operações definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. é fechado sob a adição vetorial.
  3. é fechado sob a multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para com as operações dadas.

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Precisamos ver se .
No conjunto , todos os vetores têm a forma onde . Então, não satisfaz , pois .
Isso já indica que não contém o vetor zero de , então não é um subespaço vetorial.

Passo 4

Conclusão:
Como o vetor zero de não está em , não satisfaz a primeira condição necessária para ser um subespaço vetorial. Portanto, não precisamos verificar as outras condições.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não contém o vetor zero de .

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Mostre, em cada item abaixo, que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (x1, y1) oplus(x2, y2)=(0,0) e m odot(x1, y1)=(m x1, m y1).