Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, temos um exercício de Álgebra Linear onde trabalhamos com espaços vetoriais. O problema nos dá um conjunto
com operações de adição e multiplicação por escalar específicas. Precisamos mostrar que o subconjunto
é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos verificar se
satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial usando as operações definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se:
- O vetor zero de
está em . -
é fechado sob a adição vetorial. -
é fechado sob a multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
com as operações dadas.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Precisamos ver se
.
No conjunto
, todos os vetores têm a forma
onde
. Então,
não satisfaz
, pois
.
Isso já indica que
não contém o vetor zero de
, então
não é um subespaço vetorial.
Passo 4
Conclusão:
Como o vetor zero de
não está em
,
não satisfaz a primeira condição necessária para ser um subespaço vetorial. Portanto, não precisamos verificar as outras condições.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não contém o vetor zero de
.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
com as operações
e
. Mostre que
é um espaço vetorial.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.