Considere o conjunto V=x in R mid x>0 com as operações x oplus y=x y e m odot x=x^m. Mostre que (V, oplus, odot) é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto com as operações definidas por (multiplicação comum) e (potenciação) forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais da álgebra linear e verificar se todas as propriedades necessárias são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto que, além de suas operações, cumpre várias regras chamadas de axiomas vetoriais. Essas operações incluem a adição de vetores e a multiplicação por escalares. Precisamos checar se, com as operações dadas ( e ), todas as propriedades de um espaço vetorial são válidas.

Passo 3

Vamos verificar o primeiro axioma: a comutatividade da adição. Precisamos ver se para todos .
Sabemos que e . Como a multiplicação de números reais é comutativa, . Portanto, , e o primeiro axioma é satisfeito.

Passo 4

Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição. Precisamos encontrar um elemento tal que para todo .
Usando a operação definida, temos . Isso implica que , já que . Como está em (pois ), o elemento neutro existe.

Passo 5

Em seguida, precisamos verificar a existência do elemento inverso para a adição. Para todo , precisamos de um tal que , onde .
Então, . Resolvendo para , temos . Como , , então . Assim, todo elemento tem seu inverso.

Passo 6

Vamos verificar a associatividade da adição: para todos .
Calculando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, a associatividade da adição está confirmada.

Passo 7

Agora, vamos verificar os axiomas da multiplicação por escalar. Primeiro, precisa valer para escalares e .
Calculando ambos os lados:
Como , essa propriedade está satisfeita.

Passo 8

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
Calculando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, a distributividade em relação à adição de escalares é válida.

Passo 9

Finalmente, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial: .
Calculando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, essa propriedade também está satisfeita.

Resposta

Como todas as propriedades dos axiomas de um espaço vetorial foram verificadas e satisfeitas com as operações dadas, podemos concluir que é realmente um espaço vetorial.

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Considere o conjunto V=R^2 com as seguintes operações: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2+5, y1+y2) e m odot(x1, y1)=(m x1+5(m-1), m y1). Mostre que W=(x, y) in V mid x=-5 é um subespaço vetorial de V.
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