Considere o conjunto
com as operações
e
. Mostre que
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto
com as operações definidas por
(multiplicação comum) e
(potenciação) forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais da álgebra linear e verificar se todas as propriedades necessárias são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto que, além de suas operações, cumpre várias regras chamadas de axiomas vetoriais. Essas operações incluem a adição de vetores e a multiplicação por escalares. Precisamos checar se, com as operações dadas (
e
), todas as propriedades de um espaço vetorial são válidas.
Passo 3
Vamos verificar o primeiro axioma: a comutatividade da adição. Precisamos ver se
para todos
.
Sabemos que
e
. Como a multiplicação de números reais é comutativa,
. Portanto,
, e o primeiro axioma é satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição. Precisamos encontrar um elemento
tal que
para todo
.
Usando a operação definida, temos
. Isso implica que
, já que
. Como
está em
(pois
), o elemento neutro existe.
Passo 5
Em seguida, precisamos verificar a existência do elemento inverso para a adição. Para todo
, precisamos de um
tal que
, onde
.
Então,
. Resolvendo para
, temos
. Como
,
, então
. Assim, todo elemento tem seu inverso.
Passo 6
Vamos verificar a associatividade da adição:
para todos
.
Calculando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, a associatividade da adição está confirmada.
Passo 7
Agora, vamos verificar os axiomas da multiplicação por escalar. Primeiro, precisa valer
para escalares
e
.
Calculando ambos os lados:
Como
, essa propriedade está satisfeita.
Passo 8
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
.
Calculando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, a distributividade em relação à adição de escalares é válida.
Passo 9
Finalmente, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
.
Calculando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, essa propriedade também está satisfeita.
Resposta
Como todas as propriedades dos axiomas de um espaço vetorial foram verificadas e satisfeitas com as operações dadas, podemos concluir que
é realmente um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.