Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) no espaço , que são todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente ou dependente e usar um sistema de equações para descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) ser linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá zero, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Então, vamos montar a combinação linear dos polinômios do conjunto igual a zero:
Onde , e são números reais que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos expandir essa expressão:
Simplificando:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação: => .
Substituindo e na terceira equação: => .
Passo 7
Encontramos que a única solução do sistema é , e . Isso significa que a única combinação linear que dá zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.