Considere os vetores u1=(1,2,-1,3), u2=(2,4,1,-2), u3=(3,6,3,-7), v1=(1,2,-4,11) e v2=(2,4,-5,14). Se U=>=r(u1, u2, u3) e V=>=r(v1, v2), prove que U=V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que os subconjuntos gerados pelos vetores e são iguais. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços gerados e combinatórias lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear de outros vetores e verificar se os geradores de um conjunto estão no outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que todo vetor que pode ser gerado por também pode ser gerado por , e vice-versa. Então, vamos mostrar que cada vetor de um conjunto está contido no outro.

Passo 3

Vamos começar mostrando que os vetores v1 = a u1 + b u2 + c u3 e v2 = a' u1 + b' u2 + c' u3 estão em . Ou seja, precisamos encontrar coeficientes tais que:
Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes.

Passo 4

Para 1 = a(1) + b(2) + c(3) :
2 = a(2) + b(4) + c(6)
-4 = a(-1) + b(1) + c(3)
11 = a(3) + b(-2) + c(-7)
v1 = u1
Resolvendo esse sistema, podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Após resolver, encontramos que:
Isso mostra que está em .

Passo 5

Agora, para 2 = a(1) + b(2) + c(3) :
4 = a(2) + b(4) + c(6)
-5 = a(-1) + b(1) + c(3)
14 = a(3) + b(-2) + c(-7)
v2 = 2u1 - u3
Ao resolver esse sistema, descobrimos que:
Portanto, também está em .

Passo 6

Agora que mostramos que e pertencem a , temos que . Mas precisamos provar o contrário também: que .

Passo 7

Vamos verificar se os vetores podem ser expressos como combinações lineares de e .
Primeiro, já sabemos que (do Passo 4).

Passo 8

Para u2 = d v1 + e v2 , queremos encontrar coeficientes (2,4,1,-2) = d(1,2,-4,11) + e(2,4,-5,14) tais que:
u2 = 0v1 + v2
Substituindo:
Resolvendo o sistema, encontramos:
Então, está em .

Passo 9

Finalmente, para u3 = f v1 + g v2 , precisamos de (3,6,3,-7) = f(1,2,-4,11) + g(2,4,-5,14) tais que:
u3 = v1 - v2
Ou seja:
Resolvendo, achamos:
Assim, também está em .

Passo 10

Como mostramos que todos os vetores que geram estão em , temos que . Já vimos anteriormente que , então conclui-se que .

Resposta

Portanto, .

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