Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=(x, y) in R^2 mid y-a x=0 em que a in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente às propriedades que definem um subespaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as condições que um conjunto precisa cumprir para ser considerado um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A equação pode ser reescrita como . Então, é o conjunto de todos os pares onde é igual a vezes . Isso basicamente representa uma reta que passa pela origem no plano .

Passo 3

Agora, para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos checar três condições:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor zero .
  2. Fechado sob adição: Se pegar dois vetores em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegar qualquer vetor em e multiplicar por um escalar, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se y - a x = 0 pertence a 0 - a cdot 0 = 0 . Substituindo na equação:
0 = 0
Está certo! Então, .

Passo 5

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em y1 = a x1 , digamos y2 = a x2 e (x1 + x2, y1 + y2) , onde:
(x1 + x2, a x1 + a x2)
= (x1 + x2, a (x1 + x2))
Agora, somamos esses vetores:
Substituindo e :
Isso mostra que , então o vetor resultante também satisfaz . Portanto, .

Passo 6

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em (c x, c y) , digamos (c x, c (a x)) , onde = (c x, a (c x)) , e um escalar .
Multiplicando o vetor por :
Substituindo :
Aqui, , então o vetor resultante também satisfaz . Portanto, .

Resposta

Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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