Classifique os conjuntos abaixo em linearmente independente ou linearmente dependente, conforme o caso. S1=(1,-2,1,0),(1,-2,3,1),(-1,2,1,5) subseteq R^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se o conjunto é linearmente independente ou dependente. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear. Para resolver, vamos precisar verificar se existe uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor nulo, além de montar e analisar uma matriz com esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir alguma combinação diferente disso que resulta no vetor nulo, então eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar isso de forma prática, vamos montar uma matriz onde cada vetor do conjunto é uma coluna:
1 & 1 & -1 -2 & -2 & 2 1 & 3 & 1 0 & 1 & 5
Agora, nosso objetivo é ver se essa matriz tem apenas a solução trivial (todos os coeficientes iguais a zero) para a equação .

Passo 4

Vamos aplicar eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e ver se conseguimos encontrar alguma relação entre os vetores. Começamos aplicando operações nos ramos para simplificar:
  1. R2 = R2 + 2R1:
1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 1 & 3 & 1 0 & 1 & 5
  1. R3 = R3 - R1:
1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 0 & 1 & 5
  1. R4 = R4 - (1/2)R3:
1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 0 & 0 & 4

Passo 5

Depois de realizar as operações, percebemos que temos uma linha de zeros (R2) na matriz reduzida. Isso indica que existe uma dependência linear entre os vetores, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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