Verifique se o vetor é uma combinação linear dos vetores
Em caso positivo, escreva o vetor como uma tal combinação linear. Em caso negativo, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Uma combinação linear de vetores significa que conseguimos encontrar alguns números (vamos chamar de , e ) que, quando multiplicados pelos vetores dados e somados, resultam no vetor que a gente quer, que nesse caso é . Então, queremos achar , e tais que:
Passo 3
Vamos quebrar essa equação em componentes para montar um sistema de equações. Isso significa que vamos igualar cada posição dos vetores:
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Então, nosso sistema de equações fica:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
- a + b = 0 Rightarrow b = a
Passo 5
Agora que sabemos que b = a, podemos substituir isso na primeira equação:
a + c = 2 Rightarrow c = 2 - a
Passo 6
Com b = a e c = 2 - a, vamos substituir esses valores na terceira equação:
2a - b + c = 1 2a - a + (2 - a) = 1
Simplificando:
2a - a + 2 - a = 1 (2a - a - a) + 2 = 1 0a + 2 = 1 2 = 1
Resposta
Chegamos a uma contradição (2 = 1), o que significa que não existe nenhum conjunto de valores para a, b e c que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, o vetor (2,0,1)não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,-1,2), (0,1,-1) e (1,0,1).