Verifique se o vetor (2,0,1) in R^3 é uma combinação linear dos vetores
(1,-1,2),(0,1,-1) e (1,0,1)
Em caso positivo, escreva o vetor (2,0,1) como uma tal combinação linear. Em caso negativo, justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o vetor (2,0,1) em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,-1,2), (0,1,-1) e (1,0,1). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Uma combinação linear de vetores significa que conseguimos encontrar alguns números (vamos chamar de a, b e c) que, quando multiplicados pelos vetores dados e somados, resultam no vetor que a gente quer, que nesse caso é (2,0,1). Então, queremos achar a, b e c tais que:
a cdot (1, -1, 2) + b cdot (0, 1, -1) + c cdot (1, 0, 1) = (2, 0, 1)

Passo 3

Vamos quebrar essa equação em componentes para montar um sistema de equações. Isso significa que vamos igualar cada posição dos vetores:
  1. Componente x:
    a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = 2 Rightarrow a + c = 2
  2. Componente y:
    a cdot (-1) + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 Rightarrow -a + b = 0
  3. Componente z:
    a cdot 2 + b cdot (-1) + c cdot 1 = 1 Rightarrow 2a - b + c = 1
Então, nosso sistema de equações fica:
a + c = 2 - a + b = 0 2a - b + c = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
- a + b = 0 Rightarrow b = a

Passo 5

Agora que sabemos que b = a, podemos substituir isso na primeira equação:
a + c = 2 Rightarrow c = 2 - a

Passo 6

Com b = a e c = 2 - a, vamos substituir esses valores na terceira equação:
2a - b + c = 1 2a - a + (2 - a) = 1
Simplificando:
2a - a + 2 - a = 1 (2a - a - a) + 2 = 1 0a + 2 = 1 2 = 1

Resposta

Chegamos a uma contradição ( 2 = 1), o que significa que não existe nenhum conjunto de valores para a, b e c que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, o vetor (2,0,1) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,-1,2), (0,1,-1) e (1,0,1).

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