Pela teoria vista em aula, sabemos que as colunas de A formam um conjunto L D. em R^3 (a matriz A tem mais colunas que linhas), logo uma destas colunas deve ser uma combinação linear das outras. Encontre uma tal coluna e escreva-a como uma combinação linear das demais.

Passo 1

Então, pelo que entendi, a gente tem uma matriz com mais colunas que linhas, ou seja, ela está em e tem mais de 3 colunas. Isso significa que as colunas de são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos uma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Vamos precisar identificar qual coluna faz isso e expressá-la usando as demais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor uma matriz A = 1 & 2 & 3 & 4 2 & 4 & 5 & 6 3 & 6 & 7 & 8 para trabalhar, já que não foi fornecida. Vamos considerar uma matriz c1 = 123, c2 = 246, c3 = 357, c4 = 468 (3 linhas e 4 colunas) como exemplo:
Nesse caso, as colunas são:

Passo 3

Vamos tentar expressar a quarta coluna ( c4 = k1 c1 + k2 c2 + k3 c3 ) como uma combinação linear das três primeiras colunas. Ou seja, queremos encontrar números 468 = k1 123 + k2 246 + k3 357 tais que:
Isso significa:

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações baseado nas componentes dos vetores:
k1 cdot 1 + k2 cdot 2 + k3 cdot 3 = 4 k1 cdot 2 + k2 cdot 4 + k3 cdot 5 = 6 k1 cdot 3 + k2 cdot 6 + k3 cdot 7 = 8
Simplificando:
k1 + 2k2 + 3k3 = 4 (1) 2k1 + 4k2 + 5k3 = 6 (2) 3k1 + 6k2 + 7k3 = 8 (3)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Uma maneira simples é usar o método de eliminação.
Primeiro, multiplicamos a equação (1) por 2:
2k1 + 4k2 + 6k3 = 8 (1a)
Subtraímos a equação (2) da equação (1a):
(2k1 + 4k2 + 6k3) - (2k1 + 4k2 + 5k3) = 8 - 6 Rightarrow k3 = 2
Agora que temos k1 + 2k2 + 3(2) = 4 k1 + 2k2 + 6 = 4 k1 + 2k2 = -2 (4) , substituímos na equação (1):
3k1 + 6k2 + 7(2) = 8 3k1 + 6k2 + 14 = 8 3k1 + 6k2 = -6 (5)
E na equação (3):
k1 + 2k2 = -2 (6)
Dividindo a equação (5) por 3:
k1 + 2(0) = -2 k1 = -2
Notamos que a equação (4) e a equação (6) são iguais, o que indica que o sistema tem infinitas soluções. Vamos escolher k1 = -2, k2 = 0, k3 = 2 para simplificar:
Então, temos:

Resposta

Portanto, a quarta coluna c4 = -2,c1 + 0,c2 + 2,c3 pode ser expressa como uma combinação linear das primeiras três colunas da seguinte forma:
468 = -2 123 + 0 246 + 2 357
Ou seja:

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