Determine o conjunto-solução do sistema homogêneo A x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o conjunto-solução de um sistema homogêneo da forma . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de redução de matrizes, também conhecida como método de eliminação de Gauss, para achar todas as soluções que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero. Mas a gente quer encontrar todas as possíveis soluções, que formam o conjunto-solução desse sistema.

Passo 3

Para encontrar o conjunto-solução, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que nesse caso é apenas a matriz com um vetor zero ao lado. Como o sistema é homogêneo, não precisamos nos preocupar com termos independentes.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a redução de Gauss para simplificar a matriz e colocá-la na forma escalonada. Isso envolve usar operações elementares de linha para transformar a matriz em uma forma onde fica fácil identificar as variáveis livres e as variáveis básicas.

Passo 5

Após a redução, vamos identificar quais variáveis são livres (aqueles que podem assumir qualquer valor) e quais são dependentes (aqueles que dependem das variáveis livres). As variáveis livres vão nos ajudar a expressar a solução geral do sistema.

Passo 6

Com as variáveis identificadas, vamos expressar cada variável dependente em termos das variáveis livres. Isso nos dará as equações que descrevem todas as soluções possíveis do sistema.

Passo 7

Finalmente, vamos escrever o conjunto-solução em termos de combinações lineares das variáveis livres. Isso geralmente é feito representando as soluções em vetor, onde cada vetor componente é multiplicado por uma variável livre.

Resposta

O conjunto-solução do sistema homogêneo x = c1 v1 + c2 v2 + dots + ck vk é o conjunto de todas as combinações lineares das variáveis livres obtidas após a redução da matriz . Em notação vetorial, fica assim:
onde são escalares e s��o vetores que formam a base do espaço nulo de .

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