Determine o conjunto-solução do sistema homogêneo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o conjunto-solução de um sistema homogêneo da forma
. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de redução de matrizes, também conhecida como método de eliminação de Gauss, para achar todas as soluções que satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero. Mas a gente quer encontrar todas as possíveis soluções, que formam o conjunto-solução desse sistema.
Passo 3
Para encontrar o conjunto-solução, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que nesse caso é apenas a matriz
com um vetor zero ao lado. Como o sistema é homogêneo, não precisamos nos preocupar com termos independentes.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a redução de Gauss para simplificar a matriz
e colocá-la na forma escalonada. Isso envolve usar operações elementares de linha para transformar a matriz em uma forma onde fica fácil identificar as variáveis livres e as variáveis básicas.
Passo 5
Após a redução, vamos identificar quais variáveis são livres (aqueles que podem assumir qualquer valor) e quais são dependentes (aqueles que dependem das variáveis livres). As variáveis livres vão nos ajudar a expressar a solução geral do sistema.
Passo 6
Com as variáveis identificadas, vamos expressar cada variável dependente em termos das variáveis livres. Isso nos dará as equações que descrevem todas as soluções possíveis do sistema.
Passo 7
Finalmente, vamos escrever o conjunto-solução em termos de combinações lineares das variáveis livres. Isso geralmente é feito representando as soluções em vetor, onde cada vetor componente é multiplicado por uma variável livre.
Resposta
O conjunto-solução do sistema homogêneo
é o conjunto de todas as combinações lineares das variáveis livres obtidas após a redução da matriz
. Em notação vetorial, fica assim:
onde
são escalares e
s��o vetores que formam a base do espaço nulo de
.