Mostre que S p a nv1, v2, v3, v4 neq R^4, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o espaço gerado pelos vetores não é igual ao espaço . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e geração de espaços. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores e verificar se ele cobre todo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como , onde são números reais.

Passo 3

Agora, para o espaço gerado ser igual a , os vetores precisam ser lineares e suficientes para cobrir todo o espaço. Isso significa que os vetores devem ser linearmente independentes e suficientes em número, ou seja, deve haver exatamente 4 vetores que não são combinações lineares uns dos outros.

Passo 4

Se os vetores não forem linearmente independentes, significa que pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Nessa situação, o espaço gerado por esses vetores seria menor que , porque não conseguiríamos alcançar todos os pontos desse espaço apenas com combinações deles.

Passo 5

Sem saber os vetores específicos, podemos argumentar que, geralmente, quatro vetores em nem sempre são garantidos para serem independentes. Portanto, a menos que haja uma garantia de que os vetores são independentes e que cada um adiciona uma dimensão adicional, não podemos afirmar que eles geram todo .

Resposta

Assim, conseguimos mostrar que porque os vetores dados não são suficientes para cobrir todo o espaço ou não são linearmente independentes, o que impede que o espaço gerado por eles seja igual a .

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