Mostre que
, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o espaço gerado pelos vetores
não é igual ao espaço
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e geração de espaços. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores e verificar se ele cobre todo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como
, onde
são números reais.
Passo 3
Agora, para o espaço gerado ser igual a
, os vetores precisam ser lineares e suficientes para cobrir todo o espaço. Isso significa que os vetores devem ser linearmente independentes e suficientes em número, ou seja, deve haver exatamente 4 vetores que não são combinações lineares uns dos outros.
Passo 4
Se os vetores
não forem linearmente independentes, significa que pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Nessa situação, o espaço gerado por esses vetores seria menor que
, porque não conseguiríamos alcançar todos os pontos desse espaço apenas com combinações deles.
Passo 5
Sem saber os vetores específicos, podemos argumentar que, geralmente, quatro vetores em
nem sempre são garantidos para serem independentes. Portanto, a menos que haja uma garantia de que os vetores são independentes e que cada um adiciona uma dimensão adicional, não podemos afirmar que eles geram todo
.
Resposta
Assim, conseguimos mostrar que
porque os vetores dados não são suficientes para cobrir todo o espaço
ou não são linearmente independentes, o que impede que o espaço gerado por eles seja igual a
.