Classifique os conjuntos abaixo em linearmente independente ou linearmente dependente, conforme o caso.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
no espaço tridimensional
. Precisamos classificar esse conjunto como linearmente independente ou linearmente dependente. Para isso, vamos precisar saber o que significa esses termos na matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Por outro lado, se pelo menos um vetor puder ser escrito como uma combinação linear dos demais, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Observando o conjunto
, notamos que o vetor
é o vetor nulo. Um fato importante é que qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente. Isso ocorre porque o vetor nulo pode ser representado como
vezes qualquer vetor, ou seja,
.
Passo 4
Mesmo que não considerássemos o vetor nulo, poderíamos verificar a dependência linear observando as combinações lineares dos outros vetores. Por exemplo, se encontrarmos escalares
e
não ambos zero tais que:
Isso indicaria dependência linear. No entanto, já que o vetor nulo está presente, já temos a dependência sem precisar resolver esse sistema.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.