Classifique os conjuntos abaixo em linearmente independente ou linearmente dependente, conforme o caso. S3=(1,-1,0,2),(-2,3,-4,1),(5,-4,3,9),(-2,3,1,-3) subseteq R^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar se o conjunto de quatro vetores em é linearmente independente ou dependente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear. Precisamos verificar se uma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero de maneira não trivial (ou seja, com algum coeficiente diferente de zero).

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz onde cada coluna é um dos vetores do conjunto A = 1 & -2 & 5 & -2 -1 & 3 & -4 & 3 0 & -4 & 3 & 1 2 & 1 & 9 & -3 :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, são linearmente dependentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot 3 & -4 & 3 -4 & 3 & 1 1 & 9 & -3 - (-2) cdot -1 & -4 & 3 0 & 3 & 1 2 & 9 & -3 + 5 cdot -1 & 3 & 3 0 & -4 & 1 2 & 1 & -3 - (-2) cdot -1 & 3 & -4 0 & -4 & 3 2 & 1 & 9 :
3 & -4 & 3 -4 & 3 & 1 1 & 9 & -3
Calculando cada menor:
  1. -1 & -4 & 3 0 & 3 & 1 2 & 9 & -3
  2. -1 & 3 & 3 0 & -4 & 1 2 & 1 & -3
  3. -1 & 3 & -4 0 & -4 & 3 2 & 1 & 9
  4. det(A) = 1 cdot (-127) - (-2) cdot (-8) + 5 cdot 19 - (-2) cdot 25 = -127 -16 +95 +50 = (-127 -16) + (95 +50) = -143 +145 = 2
Agora, substituindo de volta:

Resposta

Como o determinante da matriz é diferente de zero ( ), concluímos que os vetores em são linearmente independentes.

Exercícios relacionados