Qual o valor de
para que os vetores
e
sejam ortogonais?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
que torna os vetores
e
ortogonais. A matéria aqui é sobre vetores e ortogonalidade. Para vetores serem ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Para que
e
sejam ortogonais, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores
e
:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 4
Substituindo esses valores na equação do produto escalar:
Simplificando:
Agora, temos uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar o valor de
.
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 6
Calculando o discriminante (
):
Como
, teremos duas soluções reais.
Passo 7
Agora, aplicando os valores na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de
que tornam os vetores ortogonais são
e
.