Qual o valor de x para que os vetores a=x i+5 j-4 k e b=(x+1) i+2 j+4 k sejam ortogonais?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que torna os vetores e ortogonais. A matéria aqui é sobre vetores e ortogonalidade. Para vetores serem ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e a cdot b = 0 , o produto escalar é dado por:
Para que e sejam ortogonais, precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores a cdot b = x(x+1) + 5 times 2 + (-4) times 4 e :
Vamos simplificar cada termo:

Passo 4

Substituindo esses valores na equação do produto escalar:
x^2 + x + 10 - 16 = 0
Simplificando:
x^2 + x - 6 = 0
Agora, temos uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar o valor de .

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .

Passo 6

Calculando o discriminante ( De):
Como , teremos duas soluções reais.

Passo 7

Agora, aplicando os valores na fórmula de Bhaskara:
x = -1 pm raiz252 times 1 = -1 pm 52
Isso nos dá duas soluções:
x1 = -1 + 52 = 42 = 2
x2 = -1 - 52 = -62 = -3

Resposta

Os valores de que tornam os vetores ortogonais são e .

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