Classifique os conjuntos abaixo em linearmente independente ou linearmente dependente, conforme o caso. S4=(1,2,3),(5,3,1),(-1,2,-5),(3,-1,7) subseteq R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto S4 = (1,2,3), (5,3,1), (-1,2,-5), (3,-1,7) é linearmente independente ou dependente. Isso tudo está no espaço R^3.
Para isso, vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor puder ser escrito como combinação linear dos outros. Caso contrário, são linearmente independentes.
Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e ver se o sistema associado tem solução não trivial (ou seja, além da solução trivial onde todos os coeficientes são zero). Se tiver solução não trivial, os vetores são dependentes; se não, são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores como colunas de uma matriz:
A = 1 & 5 & -1 & 3 2 & 3 & 2 & -1 3 & 1 & -5 & 7
Agora, vamos configurar o sistema linear A cdot x = 0, onde x = (x1, x2, x3, x4).

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz à forma escalonada e ver quantas soluções ele tem. Se houver pelo menos um parâmetro livre, significa que há uma solução não trivial e, portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

Vamos fazer as operações para reduzir a matriz:
  1. Mantemos o primeiro elemento da primeira linha como 1.
  2. Eliminamos os elementos abaixo do 1 na primeira coluna.
  3. Continuamos esse processo para as próximas colunas.
Depois de realizar as operações, obtemos a forma escalonada reduzida da matriz.

Passo 5

Após a redução, vemos que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Isso significa que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto S4 é linearmente dependente.

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