Classifique os conjuntos abaixo em linearmente independente ou linearmente dependente, conforme o caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é linearmente independente ou dependente. Isso tudo está no espaço .
Para isso, vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor puder ser escrito como combinação linear dos outros. Caso contrário, são linearmente independentes.
Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e ver se o sistema associado tem solução não trivial (ou seja, além da solução trivial onde todos os coeficientes são zero). Se tiver solução não trivial, os vetores são dependentes; se não, são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores como colunas de uma matriz:
Agora, vamos configurar o sistema linear A cdot x = 0, onde x = (x1, x2, x3, x4).
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz à forma escalonada e ver quantas soluções ele tem. Se houver pelo menos um parâmetro livre, significa que há uma solução não trivial e, portanto, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 4
Vamos fazer as operações para reduzir a matriz:
Mantemos o primeiro elemento da primeira linha como 1.
Eliminamos os elementos abaixo do 1 na primeira coluna.
Continuamos esse processo para as próximas colunas.
Depois de realizar as operações, obtemos a forma escalonada reduzida da matriz.
Passo 5
Após a redução, vemos que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Isso significa que os vetores são linearmente dependentes.