Verifique se os vetores seguintes são coplanares.
u=(3,-1,2), v=(1,2,1) e w=(-2,3,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta se os vetores u=(3,-1,2), v=(1,2,1) e w=(-2,3,4) são coplanares. Coplanares significa que os vetores estão no mesmo plano. Para verificar isso, vamos usar o produto escalar triplo, que ajuda a determinar se três vetores estão ou não no mesmo plano.

Passo 2

O primeiro passo é montar uma matriz com esses vetores. Cada vetor será uma coluna dessa matriz:
3 & 1 & -2 -1 & 2 & 3 2 & 1 & 4

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos dá o valor do produto escalar triplo. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. Vou calcular passo a passo:
Determinante = 3 times (2 times 4 - 1 times 3) - 1 times (-1 times 4 - 2 times 3) + (-2) times (-1 times 1 - 2 times 2)
Simplificando cada parte:
= 3 times (8 - 3) - 1 times (-4 - 6) + (-2) times (-1 - 4)
= 3 times 5 - 1 times (-10) + (-2) times (-5)
= 15 + 10 + 10
= 35

Resposta

Como o determinante é 35, que não é zero, os vetores não são coplanares.

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