Sejam e subespaços de .
(b) Encontre uma base e a dimensão de .

Passo 1

Então, a gente tem dois subespaços, e , dentro de . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para a soma desses dois subespaços, ou seja, , e também determinar a dimensão dessa soma. Para isso, vamos precisar entender bem como são definidos e , identificar bases para cada um deles e depois combinar essas bases de maneira que possamos encontrar uma base para a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Ele é definido por:
Isso significa que qualquer vetor em precisa satisfazer essas duas condições: a soma de e é zero, e é igual a . Podemos reescrever como e como . Assim, podemos expressar qualquer vetor de da seguinte forma:
Portanto, uma base para é:
E a dimensão de é 2, já que temos dois vetores na base.

Passo 3

Agora, vamos analisar , que é definido por:
Essa é uma única equação linear em quatro variáveis, o que significa que a dimensão de é . Para encontrar uma base para , podemos parametrizar as variáveis livres. Vamos escolher , e como livres e expressar em termos delas:
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é:

Passo 4

Agora que temos as bases de e , vamos encontrar uma base para a soma . A soma consiste em todos os vetores que podem ser formados adicionando um vetor de com um vetor de .
Então, pegamos as bases de e e as combinamos:
Mas essa coleção pode ter vetores que são combinações lineares uns dos outros, então precisamos verificar quais são linearmente independentes para formar uma base.

Passo 5

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e fazer uma redução para verificar a independência:
Após realizar operações de linha (como trocar linhas, multiplicar por escalar, e adicionar múltiplos de uma linha a outra), podemos reduzir essa matriz para a forma escalonada. Isso nos mostrará que apenas três vetores são necessários para formar uma base para .

Passo 6

Após a redução, descobrimos que os vetores , e são linearmente independentes e formam uma base para . Portanto, a dimensão de é 3.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores , e . A dimensão de é 3.

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©
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