Sejam W1=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 ; z=t e W2=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y-z+t=0 subespaços de R^4.
(b) Encontre uma base e a dimensão de W1+W2.

Passo 1

Então, a gente tem dois subespaços, e , dentro de . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para a soma desses dois subespaços, ou seja, , e também determinar a dimensão dessa soma. Para isso, vamos precisar entender bem como são definidos e , identificar bases para cada um deles e depois combinar essas bases de maneira que possamos encontrar uma base para a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é W1 = (x, y, z, t) in R^4 mid x + y = 0 ; , z = t . Ele é definido por:
(x, -x, z, z) = x(1, -1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1)
Isso significa que qualquer vetor em , (1, -1, 0, 0), , (0, 0, 1, 1) , precisa satisfazer essas duas condições: a soma de e é zero, e é igual a . Podemos reescrever como e como . Assim, podemos expressar qualquer vetor de da seguinte forma:
Portanto, uma base para é:
E a dimensão de é 2, já que temos dois vetores na base.

Passo 3

Agora, vamos analisar W2 = (x, y, z, t) in R^4 mid x - y - z + t = 0 , que é definido por:
x = y + z - t
Essa é uma única equação linear em quatro variáveis, o que significa que a dimensão de (y + z - t, , y, , z, , t) = y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(-1, 0, 0, 1) é , (1, 1, 0, 0), , (1, 0, 1, 0), , (-1, 0, 0, 1) , . Para encontrar uma base para , podemos parametrizar as variáveis livres. Vamos escolher , e como livres e expressar em termos delas:
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é:

Passo 4

Agora que temos as bases de , (1, -1, 0, 0), , (0, 0, 1, 1), , (1, 1, 0, 0), , (1, 0, 1, 0), , (-1, 0, 0, 1) , e , vamos encontrar uma base para a soma . A soma consiste em todos os vetores que podem ser formados adicionando um vetor de com um vetor de .
Então, pegamos as bases de e e as combinamos:
Mas essa coleção pode ter vetores que são combinações lineares uns dos outros, então precisamos verificar quais são linearmente independentes para formar uma base.

Passo 5

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e fazer uma redução para verificar a independência:
1 & 0 & 1 & 1 & -1 -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1
Após realizar operações de linha (como trocar linhas, multiplicar por escalar, e adicionar múltiplos de uma linha a outra), podemos reduzir essa matriz para a forma escalonada. Isso nos mostrará que apenas três vetores são necessários para formar uma base para .

Passo 6

Após a redução, descobrimos que os vetores , e são linearmente independentes e formam uma base para . Portanto, a dimensão de é 3.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores , e . A dimensão de é 3.

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