(1) Classifique a EDO e obtenha duas soluçōes linearmente indempendentes para a equação homogênea associada. Mostre que de fato as solução são li. e justifique, a partir deste fato, qual pode ser a soluçāo geral da equaçāo homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a equação diferencial ordinária (EDO) , encontrar duas soluções para a parte homogênea (ou seja, quando ), e mostrar que essas soluções são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender sobre EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes, resolver a equação característica e verificar a independência das soluções usando o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a EDO. A equação dada é . Observamos que ela é uma EDO de segunda ordem porque a maior derivada é a segunda (). Além disso, os coeficientes das derivadas ( para e para ) são constantes. Isso significa que estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte homogênea da equação, ou seja, . Para resolver essa EDO, vamos montar a equação característica associada. Sabemos que para uma EDO da forma , a equação característica é . Aplicando isso, temos:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Resolvendo a equação característica , podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, percebemos que:
Portanto, temos uma raiz dupla . Como temos uma raiz real e repetida, as soluções da equação homogênea são:
Então, as duas soluções são e .
Passo 5
Agora, vamos mostrar que essas duas soluções são linearmente independentes. Para isso, usamos o Wronskiano, que para duas funções e é dado por:
Calculando:
Então,
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções e são linearmente independentes.