Equaçōes de Segunda Ordem ( a e b constantes)
(0.5) a) Considere a equação y''(t) + b y'(t) + c y(t) = 0, explique o porquê de ser natural supor que as soluções da equaçâo tenham a forma y(t) = e^(a t) e mostre que esta suposição converte a equação diferencial em uma equação algébrica do segundo grau.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a equação diferencial de segunda ordem . O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que as soluções têm a forma , e vamos mostrar como essa suposição transforma a equação diferencial em uma equação algébrica de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a gente assume que a solução tem a forma . Em equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, as funções exponenciais costumam ser soluções naturais porque, ao derivarmos uma exponencial, a forma funcional não muda, apenas multiplica por uma constante. Isso simplifica bastante a resolução.

Passo 3

Agora, vamos assumir que . Com essa suposição, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial original:

Passo 5

Fatorando que é comum em todos os termos:

Passo 6

Como nunca é zero para nenhum valor real de e , a única maneira da equação ser satisfeita é se o que está dentro dos parênteses for igual a zero:

Resposta

Ao assumir , a equação diferencial se transforma na equação algébrica de segundo grau .

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