Equaçōes de Segunda Ordem (
e
constantes)
(0.5) a) Considere a equação
, explique o porquê de ser natural supor que as soluções da equaçâo tenham a forma
e mostre que esta suposição converte a equação diferencial em uma equação algébrica do segundo grau.
(0.5) a) Considere a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a equação diferencial de segunda ordem
. O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que as soluções têm a forma
, e vamos mostrar como essa suposição transforma a equação diferencial em uma equação algébrica de segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que a gente assume que a solução tem a forma
. Em equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, as funções exponenciais costumam ser soluções naturais porque, ao derivarmos uma exponencial, a forma funcional não muda, apenas multiplica por uma constante. Isso simplifica bastante a resolução.
Passo 3
Agora, vamos assumir que
. Com essa suposição, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Fatorando
que é comum em todos os termos:
Passo 6
Como
nunca é zero para nenhum valor real de
e
, a única maneira da equação ser satisfeita é se o que está dentro dos parênteses for igual a zero:
Resposta
Ao assumir
, a equação diferencial
se transforma na equação algébrica de segundo grau
.
Exercícios relacionados
Desenhe as seguintes curvas:
cost,
sent
com
.
(1) Classifique a EDO
e obtenha duas soluçōes linearmente indempendentes para a equação homogênea associada. Mostre que de fato as solução são li. e justifique, a partir deste fato, qual pode ser a soluçāo geral da equaçāo homogênea.
Derive a função utilizando as Regras de Derivação.