Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separáveis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que y'(x) é função apenas da razão y / x ).
(x - y) dx + (x + y) dy = 0.

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O exercício pede para a gente classificar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) nas seguintes categorias: linear ou não linear, homogênea ou não homogênea, separável ou não separável, e autônoma ou não autônoma. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas classificações significa e aplicar essas definições à equação que temos.

Passo 2

Linearidade: Uma EDO é linear se ela pode ser escrita na forma , onde e são funções de . Se não puder ser escrita dessa forma, ela é não linear.
Vamos tentar colocar nossa equação na forma padrão. Primeiro, vamos reescrever a equação:
Dividindo por (assumindo ):
Isolando :
Então:
Essa expressão não está na forma , então a equação não é linear.

Passo 3

Homogeneidade: No contexto desse exercício, uma EDO é homogênea se é uma função apenas da razão .
Vamos verificar isso na nossa expressão para :
Aqui, depende apenas de . Portanto, a equação é homogênea.

Passo 4

Separabilidade: Uma EDO é separável se podemos escrever como produto de uma função de e uma função de , ou seja, .
Vamos ver nossa expressão:
Não conseguimos separar os termos de e facilmente nessa forma. Portanto, a equação não é separável.

Passo 5

Autonomia: Uma EDO é autônoma se ela não depende explicitamente da variável independente (neste caso, ). Ou seja, depende apenas de .
Na nossa expressão:
há uma dependência explícita de na função. Então, a equação não é autônoma.

Resposta

A equação diferencial é:
  • Não linear
  • Homogênea
  • Não separável
  • Não autônoma

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