Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separáveis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
é função apenas da razão
).
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá. O exercício pede para a gente classificar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) nas seguintes categorias: linear ou não linear, homogênea ou não homogênea, separável ou não separável, e autônoma ou não autônoma. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas classificações significa e aplicar essas definições à equação que temos.
Passo 2
Linearidade: Uma EDO é linear se ela pode ser escrita na forma
, onde
e
são funções de
. Se não puder ser escrita dessa forma, ela é não linear.
Vamos tentar colocar nossa equação na forma padrão. Primeiro, vamos reescrever a equação:
Dividindo por
(assumindo
):
Isolando
:
Então:
Essa expressão não está na forma
, então a equação não é linear.
Passo 3
Homogeneidade: No contexto desse exercício, uma EDO é homogênea se
é uma função apenas da razão
.
Vamos verificar isso na nossa expressão para
:
Aqui,
depende apenas de
. Portanto, a equação é homogênea.
Passo 4
Separabilidade: Uma EDO é separável se podemos escrever
como produto de uma função de
e uma função de
, ou seja,
.
Vamos ver nossa expressão:
Não conseguimos separar os termos de
e
facilmente nessa forma. Portanto, a equação não é separável.
Passo 5
Autonomia: Uma EDO é autônoma se ela não depende explicitamente da variável independente (neste caso,
). Ou seja,
depende apenas de
.
Na nossa expressão:
há uma dependência explícita de
na função. Então, a equação não é autônoma.
Resposta
A equação diferencial
é:
- Não linear
- Homogênea
- Não separável
- Não autônoma