Determine o campo das seguintes equações:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos determinar o campo da equação diferencial
. O conteúdo está relacionado a equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais, como separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Isolando
, temos:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear devido ao termo
. Para resolver, vamos tentar separar as variáveis
e
.
Passo 4
Rearranjamos a equação para separar
de
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados. Começamos pela integral à esquerda:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
e
. Substituindo, temos:
Passo 6
Simplificamos a fração dentro da integral:
Então, a integral fica:
Voltando à variável original
:
Passo 7
Agora, integrando o lado direito:
Passo 8
Igualando as integrais obtidas:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine o campo das seguintes equações:
(a)
(a)
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
^0 e
.
Note que, embora nada na equação dada proíba de assumir valor nulo, a solução do PVI apresentado só é válida para
(por que excluímos o conjunto
?). Dizemos então que o intervalo de validade dessa solução é
.
^0
Note que, embora nada na equação dada proíba
Determine o campo das seguintes equações:
(e)
(e)
Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separáveis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
é função apenas da razão
).
.