Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm
constante e quais têm
constante.
10.
,
10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente usar um computador para desenhar o gráfico de uma superfície parametrizada. Isso significa que temos uma função que depende de duas variáveis,
e
, e queremos visualizar como essa superfície fica no espaço 3D. Além disso, precisamos identificar quais curvas da grade têm
constante e quais têm
constante. Para isso, vamos usar Python com a biblioteca Matplotlib, que facilita bastante na hora de fazer gráficos 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Aqui,
varia de
a
e
de
a
. Essa função nos dá as coordenadas
,
e
para cada par de valores
. Vamos precisar criar uma malha de pontos para
e
e calcular
,
e
para cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos escrever o código em Python. Vamos usar as bibliotecas
numpy
para cálculos numéricos e matplotlib
para plotar. Se você ainda não tem essas bibliotecas instaladas, pode instalar usando pip
:pip install numpy matplotlib
Passo 4
Vamos ao código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# Definindo os intervalos para u e v
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(0.1, 6.2, 100) # Evitamos v=0 para não ter log(0)
U, V = np.meshgrid(u, v)
# Calculando as coordenadas x, y, z
X = np.cos(U) * np.sin(V)
Y = np.sin(U) * np.sin(V)
Z = np.cos(V) + np.log(np.tan(V / 2))
# Criando o gráfico 3D
fig = plt.figure(figsize=(10, 7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# Plotando a superfície
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', edgecolor='none', alpha=0.8)
# Adicionando curvas de grade com u constante
for i in range(0, 100, 10):
ax.plot(X[i, :], Y[i, :], Z[i, :], color='red', linewidth=0.5)
# Adicionando curvas de grade com v constante
for j in range(0, 100, 10):
ax.plot(X[:, j], Y[:, j], Z[:, j], color='blue', linewidth=0.5)
# Criando uma barra de cores
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)
# Adicionando legendas
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Superfície Parametrizada')
# Mostrando o gráfico
plt.show()
Passo 5
Vamos entender o que cada parte do código faz:
-
Definição de
e : Usamos np.linspace
para criar 100 pontos igualmente espaçados parae . Evitamos porque não está definido. -
Meshgrid:
np.meshgrid
cria uma grade 2D a partir dos vetorese , permitindo calcular , e para todos os pontos. -
Cálculo das Coordenadas: Aplicamos as funções trigonométricas e o logaritmo para obter as coordenadas 3D.
-
Plotagem da Superfície: Usamos
plot_surface
para desenhar a superfície com uma coloração que facilita a visualização. -
Curvas de Grade:
-
constante: Desenhamos curvas vermelhas variando . -
constante: Desenhamos curvas azuis variando .
-
-
Finalização: Adicionamos rótulos aos eixos, título e mostramos o gráfico.
Resposta
Ao rodar esse código no seu computador, você verá um gráfico 3D da superfície parametrizada. As curvas vermelhas representam linhas com
constante, enquanto as curvas azuis representam linhas com
constante. Isso ajuda a visualizar como a superfície é construída a partir desses parâmetros.
Exercícios relacionados
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm
constante e quais têm
constante.
7.
7.
Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separáveis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
é função apenas da razão
).
.
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm
constante e quais têm
constante.
9.
9.
(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo
o círculo do plano
, com centro em
e raio
. [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos
e
mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de e
.
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.