Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm constante e quais têm constante.
10. ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente usar um computador para desenhar o gráfico de uma superfície parametrizada. Isso significa que temos uma função que depende de duas variáveis, e , e queremos visualizar como essa superfície fica no espaço 3D. Além disso, precisamos identificar quais curvas da grade têm constante e quais têm constante. Para isso, vamos usar Python com a biblioteca Matplotlib, que facilita bastante na hora de fazer gráficos 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Aqui, varia de a e de a . Essa função nos dá as coordenadas , e para cada par de valores . Vamos precisar criar uma malha de pontos para e e calcular , e para cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos escrever o código em Python. Vamos usar as bibliotecas numpy para cálculos numéricos e matplotlib para plotar. Se você ainda não tem essas bibliotecas instaladas, pode instalar usando pip:
pip install numpy matplotlib

Passo 4

Vamos ao código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Definindo os intervalos para u e v
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(0.1, 6.2, 100)  # Evitamos v=0 para não ter log(0)

U, V = np.meshgrid(u, v)

# Calculando as coordenadas x, y, z
X = np.cos(U) * np.sin(V)
Y = np.sin(U) * np.sin(V)
Z = np.cos(V) + np.log(np.tan(V / 2))

# Criando o gráfico 3D
fig = plt.figure(figsize=(10, 7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Plotando a superfície
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', edgecolor='none', alpha=0.8)

# Adicionando curvas de grade com u constante
for i in range(0, 100, 10):
    ax.plot(X[i, :], Y[i, :], Z[i, :], color='red', linewidth=0.5)

# Adicionando curvas de grade com v constante
for j in range(0, 100, 10):
    ax.plot(X[:, j], Y[:, j], Z[:, j], color='blue', linewidth=0.5)

# Criando uma barra de cores
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)

# Adicionando legendas
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Superfície Parametrizada')

# Mostrando o gráfico
plt.show()

Passo 5

Vamos entender o que cada parte do código faz:
  • Definição de e : Usamos np.linspace para criar 100 pontos igualmente espaçados para e . Evitamos porque não está definido.
  • Meshgrid: np.meshgrid cria uma grade 2D a partir dos vetores e , permitindo calcular , e para todos os pontos.
  • Cálculo das Coordenadas: Aplicamos as funções trigonométricas e o logaritmo para obter as coordenadas 3D.
  • Plotagem da Superfície: Usamos plot_surface para desenhar a superfície com uma coloração que facilita a visualização.
  • Curvas de Grade:
    • constante: Desenhamos curvas vermelhas variando .
    • constante: Desenhamos curvas azuis variando .
  • Finalização: Adicionamos rótulos aos eixos, título e mostramos o gráfico.

Resposta

Ao rodar esse código no seu computador, você verá um gráfico 3D da superfície parametrizada. As curvas vermelhas representam linhas com constante, enquanto as curvas azuis representam linhas com constante. Isso ajuda a visualizar como a superfície é construída a partir desses parâmetros.

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7.
Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separáveis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que é função apenas da razão ).
.
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9.
(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo o círculo do plano , com centro em e raio . [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos e mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de e .
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.