Classifique as EDPs a seguir como hiperbólica, parabólica ou elíptica:
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial x partial y-3 partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Parcial (EDP) e precisamos classificá-la como hiperbólica, parabólica ou elíptica. Para isso, vamos usar conceitos de análise de EDPs de segunda ordem.

Passo 2

Vamos começar identificando os coeficientes da nossa EDP. A equação dada é:
partial^2 upartial x^2 - partial^2 upartial x partial y - 3 partial^2 upartial y^2 = 0
Podemos reescrever essa equação na forma geral de uma EDP de segunda ordem:
A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + termos de primeira ordem + termos sem derivadas = 0
Comparando com a nossa equação, identificamos:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de ) ⇒
  • (coeficiente de )

Passo 3

Para classificar a EDP, usamos o discriminante D = B^2 - A C , que é calculado da seguinte forma:
D = (-12)^2 - (1)(-3) = 14 + 3 = 134 = 3,25
Vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos interpretar o valor do discriminante :
  • Se : a equação é hiperbólica.
  • Se : a equação é parabólica.
  • Se : a equação é elíptica.
No nosso caso, , que é maior que zero.

Resposta

A equação dada é hiperbólica.

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