Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente analisar a função
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e concavidade, além de entender como esboçar o gráfico da função. Vamos por partes para não complicar, tá bom?
Passo 2
Assíntotas Verticais, Horizontais e Inclinadas
Primeiramente, vamos verificar se a função tem assíntotas. Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, mas nossa função é um polinômio, então ela está definida para todos os valores de
. Portanto, não há assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais ou inclinadas, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito ou menos infinito. Como o grau do polinômio é 5 (termo de maior grau), que é ímpar e com coeficiente positivo, a função tende a
quando
tende a
e a
quando
tende a
. Isso indica que não há assíntotas horizontais ou inclinadas.
Passo 3
Encontrando os Valores Críticos de Primeira Ordem
Valores críticos de primeira ordem são onde a primeira derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os valores críticos:
Resolvendo:
Então, o único valor crítico de primeira ordem é
.
Passo 4
Analisando os Extremos Relativos e Absolutos
Para saber se
é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
:
Como a segunda derivada é zero, não conseguimos concluir usando o teste da segunda derivada. Vamos então analisar o comportamento da primeira derivada ao redor de
:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Como a derivada é positiva dos dois lados de
, não há mudança de sinal. Portanto,
não é nem um máximo nem um mínimo relativo. Assim, a função não tem extremos relativos ou absolutos.
Passo 5
Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para identificar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da primeira derivada
:
Como
e
são sempre positivos para todo
real (exceto em
, onde é zero), temos que
para todo
. Isso significa que a função é crescente em todo o seu domínio.
Passo 6
Pontos de Inflexão e Intervalos de Concavidade
Pontos de inflexão acontecem onde a segunda derivada muda de sinal. Vamos relembrar a segunda derivada:
Analisamos onde
:
Então, o único ponto onde a segunda derivada é zero é
. Vamos verificar o sinal de
em intervalos:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Houve uma mudança de sinal em
, então esse é um ponto de inflexão.
Intervalos de Concavidade:
- Concava para baixo (
): - Concava para cima (
):
Passo 7
Interceptos com os Eixos Ox e Oy
- Intercepto com Oy: É o valor de
.
Então, o intercepto com Oy é
.
- Interceptos com Ox: São os valores de
onde .
Resolvendo:
Portanto, o único intercepto com Ox é
.
Passo 8
Esboço do Gráfico da Função
Com base nas informações obtidas:
- A função é um polinômio de grau 5, contínua e derivável em todo o domínio.
- Não possui assíntotas.
- É crescente em todo o domínio.
- Possui um ponto de inflexão em
, onde muda de concava para abaixo ( ) para concava para cima ( ). - Apenas um intercepto em
.
O gráfico terá a forma de “S” invertida típica de polinômios ímpares de grau alto, passando pela origem.
Resposta
A função
não possui assíntotas. Ela é crescente para todo
, não apresenta extremos relativos ou absolutos, possui um ponto de inflexão em
, sendo concava para baixo quando
e concava para cima quando
. O único intercepto com os eixos é na origem
. O gráfico da função apresenta uma curva em forma de “S” invertido, passando pela origem.
Exercícios relacionados
Classifique as EDPs a seguir como hiperbólica, parabólica ou elíptica:
Reescreva as expressões na forma de uma única fração:
Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir:
Esboce a região
d) Delimitada pelas curvas e
d) Delimitada pelas curvas