Dada a função , determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente analisar a função . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e concavidade, além de entender como esboçar o gráfico da função. Vamos por partes para não complicar, tá bom?

Passo 2

Assíntotas Verticais, Horizontais e Inclinadas
Primeiramente, vamos verificar se a função tem assíntotas. Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, mas nossa função é um polinômio, então ela está definida para todos os valores de . Portanto, não há assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais ou inclinadas, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito ou menos infinito. Como o grau do polinômio é 5 (termo de maior grau), que é ímpar e com coeficiente positivo, a função tende a quando tende a e a quando tende a . Isso indica que não há assíntotas horizontais ou inclinadas.

Passo 3

Encontrando os Valores Críticos de Primeira Ordem
Valores críticos de primeira ordem são onde a primeira derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os valores críticos:
Resolvendo:
ãáçõ
Então, o único valor crítico de primeira ordem é .

Passo 4

Analisando os Extremos Relativos e Absolutos
Para saber se é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos :
Como a segunda derivada é zero, não conseguimos concluir usando o teste da segunda derivada. Vamos então analisar o comportamento da primeira derivada ao redor de :
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo :
Como a derivada é positiva dos dois lados de , não há mudança de sinal. Portanto, não é nem um máximo nem um mínimo relativo. Assim, a função não tem extremos relativos ou absolutos.

Passo 5

Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para identificar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da primeira derivada :
Como e são sempre positivos para todo real (exceto em , onde é zero), temos que para todo . Isso significa que a função é crescente em todo o seu domínio.

Passo 6

Pontos de Inflexão e Intervalos de Concavidade
Pontos de inflexão acontecem onde a segunda derivada muda de sinal. Vamos relembrar a segunda derivada:
Analisamos onde :
ãáçõ
Então, o único ponto onde a segunda derivada é zero é . Vamos verificar o sinal de em intervalos:
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo :
Houve uma mudança de sinal em , então esse é um ponto de inflexão.
Intervalos de Concavidade:
  • Concava para baixo ( ):
  • Concava para cima ( ):

Passo 7

Interceptos com os Eixos Ox e Oy
  • Intercepto com Oy: É o valor de .
Então, o intercepto com Oy é .
  • Interceptos com Ox: São os valores de onde .
Resolvendo:
ãáçõ
Portanto, o único intercepto com Ox é .

Passo 8

Esboço do Gráfico da Função
Com base nas informações obtidas:
  • A função é um polinômio de grau 5, contínua e derivável em todo o domínio.
  • Não possui assíntotas.
  • É crescente em todo o domínio.
  • Possui um ponto de inflexão em , onde muda de concava para abaixo ( ) para concava para cima ( ).
  • Apenas um intercepto em .
O gráfico terá a forma de “S” invertida típica de polinômios ímpares de grau alto, passando pela origem.

Resposta

A função não possui assíntotas. Ela é crescente para todo , não apresenta extremos relativos ou absolutos, possui um ponto de inflexão em , sendo concava para baixo quando e concava para cima quando . O único intercepto com os eixos é na origem . O gráfico da função apresenta uma curva em forma de “S” invertido, passando pela origem.

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